Háromszög hiányzó oldalának kiszámítása – melyik tétel kell?

Hiányzó adatok kiszámítása

Írd be, amit tudsz – három adat kell, köztük legalább egy oldal. A többit kiegészítjük.

azonnal számol

Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.

Példa:

a oldal: –
b oldal: –
c oldal: –
Felszín: –
β szög: –
γ szög: –
Terület: –
Kerület: –
m_a magasság: –
m_b magasság: –
m_c magasság: –
Köré írt kör sugara R: –
Beírt kör sugara r: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

A döntési szabály három lépésben

Melyik tételt válaszd?

Rajzolj ábrát, és írd rá, amit tudszJelöld be a szögeket a csúcsokhoz, az oldalakat a szemközti oldalukhoz. A legtöbb hiba abból jön, hogy valaki fejben cseréli össze a jelöléseket.
Nézd meg, van-e derékszögHa van, és két oldalt ismersz, a Pitagorasz-tétel a leggyorsabb út. Szög is szerepel? Akkor szögfüggvény.
Ha nincs derékszög: párban van-e oldal és a vele szemközti szög?Ha igen, szinusztétel. Ha nem, de ismersz két oldalt és a köztük lévő szöget, akkor koszinusztétel.

Mit ismerek – mit használjak
Amit ismerek	Amit keresek	Az eszköz
Két oldal, derékszögű háromszög	A harmadik oldal	Pitagorasz-tétel
Egy oldal és egy hegyesszög, derékszögű	A másik két oldal	sin, cos, tg
Két oldal és a közbezárt szög	A harmadik oldal	Koszinusztétel
Három oldal	Bármelyik szög	Koszinusztétel átrendezve
Egy oldal és a vele szemközti szög + még egy adat	A többi oldal	Szinusztétel
Két szög	A harmadik szög	Szögösszeg: 180°

Hiányzó befogó derékszögű háromszögben

Ha az átfogót és az egyik befogót ismered, a másik befogó kivonással jön ki – nem összeadással. Ez a legtöbbet elrontott lépés: az átfogó a leghosszabb oldal, tehát az ő négyzetéből vonunk le.

A hiányzó befogób = √c² − a²Itt c az átfogó (a derékszöggel szemközti, leghosszabb oldal), a az ismert befogó.

Kidolgozott példa · Átfogó c = 25 cm, egyik befogó a = 7 cm

Mekkora a másik befogó?

Pitagorasz-tétel átrendezve:b² = c² − a² = 25² − 7²
Négyzetre emelünk és kivonunk:b² = 625 − 49 = 576
Gyököt vonunk:b = √576 = 24 cm
Ellenőrzés visszafelé:7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25²

Eredményb = 24 cm

Hiányzó oldal, ha nincs derékszög

Ilyenkor a koszinusztétel dolgozik. A képlet mindig arra az oldalra van felírva, amelyik a megadott szöggel szemközt van – ezt kell először tisztázni.

Kidolgozott példa · b = 8 cm, c = 5 cm, α = 60°

Mekkora az α szöggel szemközti a oldal?

Koszinusztétel az a oldalra:a² = b² + c² − 2 b c · cos α
Behelyettesítünk (cos 60° = 0,5):a² = 64 + 25 − 2 · 8 · 5 · 0,5
Összevonunk:a² = 89 − 40 = 49
Gyököt vonunk:a = 7 cm

Eredménya = 7 cm

Ha viszont egy oldal és a vele szemközti szög párban ismert, a szinusztétel rövidebb út, mert nincs benne négyzetre emelés:

Szinusztételasin α = bsin βInnen b = a · sin βsin α – egyetlen szorzás és osztás.

Kidolgozott példa · a = 10 cm, α = 45°, β = 60°

Mekkora a b oldal?

Szinusztétel átrendezve:b = a · sin βsin α
Behelyettesítve:b = 10 · sin 60°sin 45° = 10 · 0,86600,7071
Elosztjuk:b = 12,25 cm

Eredményb = 12,25 cm

Hiányzó szög kiszámítása

A szögeknél mindig kezdd a legolcsóbb lépéssel: ha két szög már megvan, a harmadik 180° mínusz a kettő összege. Ha csak oldalak vannak, akkor a koszinusztétel szögre rendezett alakja segít:

Szög három oldalbólcos γ = a² + b² − c²2 a bHa a számláló negatív, a szög tompaszög – ez nem hiba, hanem információ.

Derékszögű háromszögben ennél egyszerűbb: két oldalból szögfüggvénnyel megvan a hegyesszög, és a másik már csak 90° mínusz az első. Erről részletesen a derékszögű háromszög szögfüggvényei oldalon írunk.

Gyors önellenőrzés

Egy derékszögű háromszög átfogója 13 cm, egyik befogója 12 cm. Mekkora a másik befogó?

b = √169 − 144 = √25 = 5 cm.

Két szög 72° és 43°. Mekkora a harmadik?

180° − 72° − 43° = 65°.

Ismered az a és b oldalt, valamint a β szöget. Melyik tétel kell?

Szinusztétel, mert a b oldal és a β szög szemközti pár. Ebből sin α = a · sin βb. Vigyázz: ez az SSA eset, ahol néha két megoldás is van.

Gyakori kérdések

Hogyan számolom ki a háromszög hiányzó oldalát?

Derékszögű háromszögben Pitagorasz-tétellel: a hiányzó befogó b = √c² − a², a hiányzó átfogó c = √a² + b². Ha nincs derékszög, akkor koszinusztétellel (két oldal és a közbezárt szög esetén) vagy szinusztétellel (ha egy oldal és a vele szemközti szög ismert).

Hány adat kell ahhoz, hogy a hiányzó oldal kiszámolható legyen?

Általános háromszögnél három adat, és legalább egynek oldalnak kell lennie. Derékszögű háromszögnél kettő is elég, mert a derékszög eleve ismert adat.

Honnan tudom, hogy Pitagorasz-tételt vagy koszinusztételt használjak?

Csak akkor használhatsz Pitagorasz-tételt, ha a háromszög derékszögű, és a keresett oldal a derékszöggel áll kapcsolatban. Minden más esetben koszinusztétel kell – ez a derékszögű esetben egyébként visszaadja a Pitagorasz-tételt, mert cos 90° = 0.

Mi a teendő, ha a szinusztétel két megoldást ad?

Ez az SSA eset: a sin értékéhez egy hegyesszög és egy tompaszög is tartozhat (sin 50° = sin 130°). Ellenőrizd mindkettőt: az érvénytelen az, amelyiknél a három szög összege meghaladná a 180°-ot.

Ki lehet-e számolni a hiányzó adatokat, ha csak a szögeket ismerem?

Nem. Három szögből csak a háromszög alakja derül ki, a mérete nem – végtelen sok hasonló háromszögnek ugyanaz a három szöge. Legalább egy oldalhossz mindenképp kell.

Háromszög hiányzó adatainak kiszámítása