Tételek
Háromszög tételek
Nem az a nehéz, hogy megjegyezd a tételeket, hanem az, hogy felismerd, melyik feladatban melyik használható. Ez az oldal a felismerésre tanít: minden tételnél ott a feltétel is, nem csak a képlet.
Röviden a válasz
A háromszögre vonatkozó tételek két nagy csoportra oszlanak. Az alaptételek minden háromszögre igazak: a belső szögek összege 180°, a külső szög egyenlő a nem mellette fekvő két belső szög összegével, és bármely két oldal összege nagyobb a harmadiknál (háromszög-egyenlőtlenség).
A számoló tételek ezek után jönnek: derékszögű háromszögben a Pitagorasz-tétel, a befogótétel és a magasságtétel, általános háromszögben a szinusztétel és a koszinusztétel. A választás azon múlik, milyen adatod van: két oldal és a közbezárt szög esetén koszinusztétel, oldal–szög párok esetén szinusztétel kell.
Háromszög-kalkulátor: a tételek egyszerre
Adj meg három adatot (legalább egy oldallal) – a kalkulátor koszinusz- és szinusztétellel kiegészíti a hiányzó oldalakat és szögeket. A 7 – 3 – 8 oldalú háromszögben például pontosan 60° az α.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Melyik tételt mikor használd?
A feladatok 90%-a eldönthető egyetlen kérdéssel: mit tudsz a háromszögről? Ez a táblázat a bemenő adatokból indul, nem a tétel nevéből – dolgozat közben ez a hasznosabb sorrend.
| Amit ismersz | Amit keresel | Melyik tétel |
|---|---|---|
| Két szög | A harmadik szög | Szögösszeg-tétel: α + β + γ = 180° |
| Két befogó (derékszögű) | Az átfogó | Pitagorasz-tétel |
| Átfogó és egy szög (derékszögű) | Befogó | Szögfüggvények: a = c · sin α |
| Átfogó és a rá eső szeletek | Befogó vagy magasság | Befogótétel, magasságtétel |
| Két oldal és a közbezárt szög | A harmadik oldal | Koszinusztétel |
| Három oldal | Bármelyik szög | Koszinusztétel (átrendezve) |
| Egy oldal és két szög | A többi oldal | Szinusztétel |
| Három oldal | Terület | Héron-képlet |
A szögek tételei
Ez a három állítás minden háromszögre igaz, típustól függetlenül. Bizonyításuk 7–8. osztályban is elvégezhető, és szinte minden későbbi tétel ezekre épül.
Itt αk az A csúcsnál lévő külső szöget jelöli, vagyis az α szög 180°-ra való kiegészítőjét. A tétel egy sorban következik a szögösszegből: αk = 180° − α = β + γ.
A szögösszeg-tétel bizonyítása egyetlen segédvonalból áll: húzz a C csúcson át párhuzamost a c oldallal. Az így keletkező váltószögek éppen α és β, és a C csúcsnál egyenesszöggé, vagyis 180°-ká állnak össze γ-val. Részletesen a háromszög belső szögeinek összege oldalon nézheted meg.
Negyedikként ide tartozik a szög és oldal kapcsolata: nagyobb szöggel szemközt hosszabb oldal fekszik, és fordítva. Ez az egyszerű állítás sok feladatban helyettesít egy egész számolást – például azonnal eldönthető belőle, melyik a leghosszabb oldal.
Az oldalak tétele: háromszög-egyenlőtlenség
Három tetszőleges hosszból nem mindig lesz háromszög. A feltétel az, hogy bármely két oldal összege nagyobb legyen a harmadiknál – elég a két rövidebbet összeadni és a leghosszabbal összehasonlítani.
Derékszögű háromszög tételei
Derékszögű háromszögben a derékszög a C csúcsnál van, így c az átfogó, a és b a befogók. Az átfogóhoz tartozó m magasság két részre osztja az átfogót: legyen p az a befogó melletti, q pedig a b befogó melletti szelet.
A befogó- és a magasságtétel ugyanabból az egy észrevételből következik: az átfogóhoz tartozó magasság a háromszöget két olyan kisebb derékszögű háromszögre bontja, amelyek hasonlóak az eredetihez és egymáshoz. A hasonlóságból felírt arányok éppen ezt a két tételt adják.
Kidolgozott példa · Derékszögű háromszög: a = 15 cm, b = 20 cm
Számítsuk ki az átfogót, az átfogóhoz tartozó magasságot és az átfogó két szeletét!
- Pitagorasz-tétellel az átfogó:c = √152 + 202 = √225 + 400 = √625 = 25 cm
- A terület kétféleképpen felírva adja a magasságot:m = a · bc = 15 · 2025 = 12 cm
- Befogótétellel az a melletti szelet:p = a2c = 22525 = 9 cm
- A másik szelet:q = b2c = 40025 = 16 cm
- Ellenőrzés magasságtétellel:m2 = p · q = 9 · 16 = 144 → m = 12 cm
EredményAz átfogó c = 25 cm, a magasság m = 12 cm, a szeletek 9 cm és 16 cm.
A derékszögű esethez tartozó tételek részletesen a szinusztétel derékszögű háromszögben, a Pitagorasz-tétel, a befogótétel és a magasságtétel oldalakon vannak kifejtve.
Általános háromszög: szinusztétel és koszinusztétel
Ha nincs derékszög, ez a két tétel veszi át a Pitagorasz-tétel szerepét. Együtt minden olyan háromszöget megoldanak, amelyről három adat ismert (és köztük legalább egy oldal).
Kidolgozott példa · b = 3 cm, c = 8 cm, α = 60°
Mekkora a harmadik oldal?
- A két oldal a 60°-os szöget fogja közre, tehát koszinusztétel kell:a2 = b2 + c2 − 2 · b · c · cos α
- Behelyettesítve (cos 60° = 0,5):a2 = 9 + 64 − 2 · 3 · 8 · 0,5 = 73 − 24 = 49
- Gyököt vonva:a = 7 cm
Eredménya = 7 cm – a háromszög oldalai 3, 7 és 8 cm.
Kidolgozott példa · a = 12 cm, β = 75°, γ = 65°
Mekkora a b oldal?
- Előbb a hiányzó szög, mert az a oldalhoz tartozó szög kell a szinusztételhez:α = 180° − 75° − 65° = 40°
- Szinusztétel az a és b oldalra:bsin 75° = 12sin 40°
- Átrendezve és behelyettesítve:b = 12 · 0,96590,6428
- Vagyis:b = 18,03 cm
Eredményb = 18,03 cm. Ellenőrzés: a legnagyobb szöggel (75°) szemközt lett a leghosszabb oldal.
Egybevágóság és hasonlóság tételei
Ez a tételcsoport nem számol, hanem eldönt: mikor egyforma két háromszög, és mikor csak egyforma alakú. Ugyanaz a négy adatpár jelenik meg mindkét listában, csak az egybevágóságnál egyenlőséget, a hasonlóságnál arányosságot követelünk meg.
| Eset | Egybevágóság | Hasonlóság |
|---|---|---|
| Három oldal | Mindhárom oldal egyenlő | Mindhárom oldal aránya egyenlő |
| Két oldal + közbezárt szög | A két oldal és a szög egyenlő | A két oldal aránya és a szög egyenlő |
| Egy oldal + két szög | Az oldal és a szögek egyenlők | Két szög egyenlő (a harmadik automatikus) |
| Két oldal + a nagyobbal szemközti szög | Egyenlők | Arányosak |
A pontos megfogalmazások és a tipikus feladattípusok külön oldalon vannak: egybevágóság alapesetei, hasonlóság alapesetei.
Nevezetes vonalak tételei
- Súlyvonalak tétele: a három súlyvonal egy pontban, a súlypontban metszi egymást, amely a csúcstól számítva 2 : 1 arányban osztja mindegyiket.
- Középvonal tétele: két oldal felezőpontját összekötő szakasz párhuzamos a harmadik oldallal, és fele akkora.
- Szögfelező tétele: a belső szögfelező a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja.
- Középponti tételek: a magasságvonalak a magasságpontban, az oldalfelező merőlegesek a körülírt kör középpontjában, a szögfelezők a beírt kör középpontjában találkoznak.
A középvonal- és a szögfelező-tétel egyaránt arányossági állítás; ezeket a háromszög arányosság oldal vezeti le.
Gyors önellenőrzés
Egy háromszög két szöge 38° és 96°. Mekkora a harmadik, és milyen típusú a háromszög?
Melyik tétel kell, ha két oldalt és a köztük lévő szöget ismered?
Szerkeszthető-e háromszög 6 cm, 7 cm és 14 cm oldalakból?
Derékszögű háromszögben az átfogó 25 cm, az egyik szelete 9 cm. Mekkora a hozzá tartozó befogó?
Gyakori kérdések
Mik a háromszög legfontosabb tételei?
A szögösszeg-tétel (α + β + γ = 180°), a külső szögek tétele, a háromszög-egyenlőtlenség, derékszögűben a Pitagorasz-, befogó- és magasságtétel, általános háromszögben pedig a szinusz- és a koszinusztétel. Ezek mellé jönnek az egybevágóság és a hasonlóság alapesetei.
Melyek a derékszögű háromszög tételei?
A Pitagorasz-tétel (a2 + b2 = c2), a befogótétel (a2 = c · p), a magasságtétel (m2 = p · q) és a Thalész-tétel. Ide tartoznak a szögfüggvények is: sin α = ac, cos α = bc, tg α = ab.
Mikor kell szinusztétel és mikor koszinusztétel?
Szinusztétel akkor működik, ha van teljes oldal–szög párod (egy oldal és a vele szemközti szög). Koszinusztétel akkor kell, ha három oldalt ismersz, vagy két oldalt és a közbezárt szöget – ezekben az esetekben ugyanis nincs kész oldal–szög pár.
A koszinusztétel és a Pitagorasz-tétel kapcsolatban van egymással?
Igen, a koszinusztétel a Pitagorasz-tétel általánosítása. Ha a keresett oldallal szemközti szög 90°, akkor cos 90° = 0, a -2bc · cos α tag kiesik, és pontosan a Pitagorasz-tételt kapod vissza.
Hány adat kell ahhoz, hogy egy háromszög egyértelmű legyen?
Általában három, amelyek közül legalább egy oldal – ezt mondják ki az egybevágóság alapesetei. Három szög nem elég, mert abból végtelen sok, egymáshoz hasonló, de különböző méretű háromszög rajzolható.
Melyik tétellel számolok szöget három oldalból?
A koszinusztétel átrendezett alakjával: cos α = b2 + c2 − a22 · b · c, majd inverz koszinusszal kapod a fokot. Ha az eredmény negatív, a szög tompaszög.