Háromszögfajták
A háromszög fajtái
Két független szempont van: a szögek és az oldalak. Minden háromszög egyszerre kap egy nevet mindkét listáról – itt megtanulod, hogyan döntöd el pár másodperc alatt, melyiket.
Röviden a válasz
A háromszögeket kétféle szempont szerint csoportosítjuk. Szögeik szerint hegyesszögű (mindhárom szög kisebb 90°-nál), derékszögű (van 90°-os szöge) és tompaszögű (van 90°-nál nagyobb szöge) háromszöget különböztetünk meg.
Oldalaik szerint általános (mindhárom oldal különböző), egyenlő szárú (két oldala egyenlő) és szabályos, más néven egyenlő oldalú (mindhárom oldala egyenlő) háromszög létezik. A két csoportosítás független egymástól: egy háromszög lehet például egyszerre tompaszögű és egyenlő szárú.
Milyen háromszög ez? – szögkalkulátor
Írd be a három oldalt, és nézd meg a szögeket. Ha a legnagyobb szög 90°-nál nagyobb, tompaszögű; ha pontosan 90°, derékszögű; ha kisebb, hegyesszögű.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Csoportosítás a szögek szerint
A három belső szög összege minden háromszögben 180°, ezért legfeljebb egy szög lehet derékszög vagy tompaszög. Ebből következik, hogy a szögek szerinti három csoport egymást teljesen kizárja: minden háromszög pontosan az egyikbe tartozik.
| Fajta | A szögei | Jellemző példa |
|---|---|---|
| Hegyesszögű | Mindhárom szög < 90° | 40°, 65°, 75° |
| Derékszögű | Az egyik szög pontosan 90° | 90°, 37°, 53° |
| Tompaszögű | Az egyik szög > 90° | 96°, 48°, 36° |
Csoportosítás az oldalak szerint
A másik szempont az oldalak hossza. Itt is három eset van, de ezek nem zárják ki teljesen egymást: a szabályos háromszög egyben egyenlő szárú is, hiszen két oldala biztosan egyenlő.
| Fajta | Oldalai | Szögei | Szimmetriája |
|---|---|---|---|
| Általános | Mind a három különböző | Mind a három különböző | Nincs szimmetriatengelye |
| Egyenlő szárú | Két oldal egyenlő (a két szár) | Az alapon fekvő két szög egyenlő | 1 szimmetriatengely |
| Szabályos | Mind a három egyenlő | Mind a három 60° | 3 szimmetriatengely |
A kétféle csoportosítás együtt
Minden háromszögnek két neve van: egy a szögek és egy az oldalak szerinti listáról. Nem minden párosítás lehetséges viszont, mert az egyenlő oldalakhoz egyenlő szögek tartoznak.
| Általános | Egyenlő szárú | Szabályos | |
|---|---|---|---|
| Hegyesszögű | létezik (6–7–8) | létezik (5–6–6) | létezik (minden szög 60°) |
| Derékszögű | létezik (3–4–5) | létezik (45°–45°–90°) | nem létezik |
| Tompaszögű | létezik (4–6–9) | létezik (30°–30°–120°) | nem létezik |
A két „nem létezik" oka ugyanaz: a szabályos háromszög minden szöge 60°, tehát nem lehet benne 90°-os vagy annál nagyobb szög. A szabályos háromszög ezért mindig hegyesszögű.
Hogyan ismered fel a fajtát három oldalból?
Ha csak az oldalhosszakat kapod meg, nem kell szögfüggvényt előhúznod. Rendezd sorba az oldalakat, és a leghosszabb oldal négyzetét hasonlítsd össze a másik kettő négyzetének összegével. Ez a Pitagorasz-tétel „kibővített" változata: a koszinusztételből jön, és pontosan azt méri, hogy a legnagyobb szög merre hajlik el a derékszögtől.
Kidolgozott példa · a = 8 cm, b = 15 cm, c = 17 cm
Milyen fajta ez a háromszög a szögei és az oldalai szerint?
- A leghosszabb oldal a 17 cm-es. Vegyük a másik kettő négyzetösszegét:82 + 152 = 64 + 225 = 289
- A leghosszabb oldal négyzete:172 = 289
- A kettő egyenlő, tehát a c oldallal szemközti szög pontosan 90°. Az oldalak mind különbözők, így oldalak szerint általános.c2 = a2 + b2
EredményDerékszögű, oldalai szerint általános háromszög.
Kidolgozott példa · a = 7 cm, b = 9 cm, c = 12 cm
Ugyanaz a kérdés – ez az a háromszög, amelyik a kalkulátorban is szerepel.
- A két rövidebb oldal négyzetösszege:72 + 92 = 49 + 81 = 130
- A leghosszabb oldal négyzete:122 = 144
- Mivel 144 > 130, a legnagyobb szög tompaszög. Pontosabban a koszinusztételből:cos γ = 130 − 1442 · 7 · 9 = -0,1111
- Innen a legnagyobb szög:γ = 96,4°
EredményTompaszögű, oldalai szerint általános háromszög. A másik két szöge 35,4° és 48,2°.
Egy fajtát mindig hozzáadhatsz: a konvexséget
Sokszögeknél szokás konvex és konkáv alakzatokról beszélni. Háromszögnél ez a felosztás értelmét veszti: minden háromszög konvex, mert egyetlen szöge sem lehet 180°-nál nagyobb. Erről részletesen a konkáv háromszög oldalon írunk.
Ugyanígy nem külön fajta a „tükrös" vagy a „szimmetrikus" háromszög sem: ezek az egyenlő szárú háromszög más néven. Ha egy háromszögnek van szimmetriatengelye, akkor két oldala egyenlő – és fordítva.
Gyors önellenőrzés
Milyen háromszög az, amelynek oldalai 5, 12 és 13 cm?
Lehet egy háromszög egyszerre tompaszögű és egyenlő szárú?
Hány derékszöge lehet egy háromszögnek?
Melyik háromszögnek van pontosan egy szimmetriatengelye?
Gyakori kérdések
Hányféle háromszög van?
Két szempont szerint háromféle-háromféle: szögek szerint hegyesszögű, derékszögű és tompaszögű; oldalak szerint általános, egyenlő szárú és szabályos. A kettőt kombinálva hét létező típus adódik, mert a derékszögű és a tompaszögű szabályos háromszög nem lehetséges.
Mi a különbség az egyenlő szárú és a szabályos háromszög között?
Az egyenlő szárúnak két oldala egyenlő (ezek a szárak), a harmadik az alap. A szabályosnak mind a három oldala egyenlő, ezért minden szöge 60°. Minden szabályos háromszög egyenlő szárú is, de fordítva nem igaz.
Hogyan döntöm el három oldalból, hogy milyen a háromszög?
Hasonlítsd össze a leghosszabb oldal négyzetét a másik kettő négyzetösszegével. Ha kisebb, hegyesszögű; ha egyenlő, derékszögű; ha nagyobb, tompaszögű. Oldalak szerint pedig egyszerűen nézd meg, hány egyenlő oldal van.
Melyik háromszögnek nincs szimmetriatengelye?
Az általános háromszögnek, amelynek mind a három oldala különböző hosszú. Egyenlő szárúnak egy, szabályosnak három szimmetriatengelye van, középpontos szimmetriája viszont egyik háromszögnek sincs.
Lehet egy háromszög derékszögű és egyenlő szárú egyszerre?
Igen, ez a 45°–45°–90° szögű háromszög: a két befogó egyenlő, és ezek a szárak. Ilyet kapsz, ha egy négyzetet elvágsz az átlója mentén.
Hogy hívják a háromszögfajtákat angolul?
A hegyesszögű *acute*, a derékszögű *right*, a tompaszögű *obtuse*, az egyenlő szárú *isosceles*, a szabályos *equilateral*, az általános pedig *scalene* triangle. A teljes szószedet a háromszög angolul oldalon van.