Területszámítás
Háromszög területe oldalakból
Három oldalból magasság nélkül is kijön a terület. A félkerület a kulcs – utána egy szorzás a gyök alatt, és kész.
Röviden a válasz
Ha a háromszög három oldalát ismered, a területet a Héron-képlet adja: T = √s(s-a)(s-b)(s-c), ahol s = a + b + c2 a félkerület.
Példa: 13, 14 és 15 cm oldalaknál s = 21, így T = √21 · 8 · 7 · 6 = √7056 = 84 cm². Magasságra nincs is szükség.
Terület három oldalból
Írd be a három oldalt – a kalkulátor Héron-képlettel számol területet, magasságokat és szögeket.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A Héron-képlet két lépésben
A szokásos T = a · m2 képlethez magasság kell, azt viszont az oldalakból külön ki kellene számolni. A Héron-képlet ezt a kerülőt spórolja meg: közvetlenül az oldalakból ad területet.
A gyök alatt négy szám szorzata áll: a félkerület, és a félkerületből kivonva egyesével mindhárom oldal. Mivel a félkerület mindig nagyobb bármelyik oldalnál, a három zárójel értéke mindig pozitív – ha valamelyik negatív lesz, a megadott oldalakból nem lehet háromszöget építeni.
Kidolgozott példa · a = 13 cm, b = 14 cm, c = 15 cm
Számítsd ki a terület a három oldalból!
- Félkerület:s = 13 + 14 + 152 = 422 = 21 cm
- A három különbség:s − a = 8, s − b = 7, s − c = 6
- Behelyettesítés a Héron-képletbe:T = √21 · 8 · 7 · 6 = √7056
- A gyökvonás:T = 84 cm2
EredményT = 84 cm²
Miért működik ez egyáltalán?
A háttérben a koszinusztétel van. Három oldalból a koszinusztétel megadja bármelyik szöget, abból pedig a T = a · b · sin γ2 képlet területet ad. Ha ezt a két lépést algebrailag összevonod és rendezed, pontosan a Héron-képlet jön ki – csak a szögfüggvények kiesnek belőle.
Ezért nem kell szögkalkulátor a Héron-képlethez: a szögek benne vannak, csak nem látszanak. Ha mégis kíváncsi vagy a szögekre is, a háromszög szögeinek kiszámítása oldal mutatja a koszinusztételes utat.
Mikor van rövidebb út?
Ha az oldalak történetesen derékszögű hármast alkotnak (a két rövidebb oldal négyzetösszege egyenlő a leghosszabb négyzetével), akkor a két rövidebb oldal a két befogó, és a terület fejben kijön: T = a · b2.
| Oldalak (cm) | Félkerület | Terület (cm²) | Megjegyzés |
|---|---|---|---|
| 3, 4, 5 | 6 | 6 | Derékszögű, fejben is megy. |
| 5, 12, 13 | 15 | 30 | Derékszögű hármas. |
| 9, 10, 17 | 18 | 36 | Tompaszögű, csak Héron. |
| 6, 25, 29 | 30 | 60 | Erősen nyújtott, mégis egész a terület. |
| 13, 14, 15 | 21 | 84 | A tankönyvek kedvence. |
Kidolgozott példa · a = 6 cm, b = 25 cm, c = 29 cm
Egy nagyon lapos háromszög területe. Elsőre nem tűnik szépnek – mégis egész szám lesz.
- Félkerület:s = 6 + 25 + 292 = 30 cm
- A különbségek:s − a = 24, s − b = 5, s − c = 1
- Héron-képlet:T = √30 · 24 · 5 · 1 = √3600
- Vagyis:T = 60 cm2
EredményT = 60 cm²
Ellenőrzés: tényleg létezik ez a háromszög?
Mielőtt számolnál, nézd meg a háromszög-egyenlőtlenséget: bármely két oldal összege legyen nagyobb a harmadiknál. Ha például 4, 5 és 12 cm-t adnak meg, 4 + 5 = 9 < 12, tehát nincs ilyen háromszög – a Héron-képlet ilyenkor negatív számot ad a gyök alatt, és a számológép hibát jelez.
A kész eredményt is érdemes megnézni: ha a területet elosztod egy oldal felével, megkapod a hozzá tartozó magasságot, ami sosem lehet hosszabb a másik két oldalnál. A háromszög magasságának kiszámítása oldalon erre külön képletek vannak.
Gyors önellenőrzés
Mekkora a 7, 8 és 9 cm oldalú háromszög területe?
Miért nem elég a kerületet ismerni a területhez?
Mit jelez, ha a gyök alatt negatív szám jön ki?
Gyakori kérdések
Hogyan számolom ki a háromszög területét a három oldalából?
A Héron-képlettel: számold ki a félkerületet (s = a+b+c2), majd vonj gyököt az s(s-a)(s-b)(s-c) szorzatból. Magasságra vagy szögre nincs szükség.
Mi a háromszög területének képlete?
A legismertebb T = a · ma2, vagyis oldal szorozva a hozzá tartozó magassággal, felezve. Ha magasság helyett oldalakat ismersz, a Héron-képlet, ha két oldalt és a közbezárt szöget, akkor T = a · b · sin γ2 a megfelelő alak.
Működik a Héron-képlet minden háromszögre?
Igen, hegyesszögűre, derékszögűre és tompaszögűre egyaránt. Az egyetlen feltétel, hogy a három oldal tényleg háromszöget alkosson.
Mennyi a félkerület, és miért pont a fele kell?
A félkerület a kerület fele: s = a+b+c2. Azért ez szerepel a képletben, mert a levezetés során a beírt kör érintési szakaszai jelennek meg, azok pedig éppen s-a, s-b és s-c hosszúak.
Derékszögű háromszögnél is a Héron-képletet használjam?
Nem érdemes. Ott a két befogó egymás magassága, ezért T = a · b2 sokkal gyorsabb. A Héron-képlet ugyanazt az eredményt adja, csak több lépésben.