Háromszög kalkulátor – bármilyen háromszöghöz

Általános háromszög kalkulátor

Adj meg három adatot – legalább egy oldalt. Megkapod a hiányzó oldalakat, szögeket, a területet, a kerületet és mindhárom magasságot.

azonnal számol

Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.

Példa:

a oldal: –
b oldal: –
c oldal: –
Felszín: –
β szög: –
γ szög: –
Terület: –
Kerület: –
m_a magasság: –
m_b magasság: –
m_c magasság: –
Köré írt kör sugara R: –
Beírt kör sugara r: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

Miért pont három adat kell?

Mert a háromszögnek három szabadsági foka van. Három oldalból pontosan egy háromszög rakható össze – ezt hívjuk egybevágósági alapesetnek. Ha viszont csak szögeket adsz meg, akkor végtelen sok, egymáshoz hasonló háromszög felel meg nekik: ugyanaz az alak, más méret. Ezért kell legalább egy hosszadat.

Mit lehet kiszámolni melyik adathármasból
Adathármas	Rövidítés	Mivel oldjuk meg
Három oldal	SSS	Koszinusztétel a legnagyobb szögre, majd szinusztétel
Két oldal + közbezárt szög	SAS	Koszinusztétel a harmadik oldalra
Egy oldal + a rajta fekvő két szög	ASA	Szögösszeg, majd szinusztétel
Egy oldal + két szög (más elrendezés)	AAS	Szögösszeg, majd szinusztétel
Két oldal + a rövidebbikkel szemközti szög	SSA	Szinusztétel – de figyelj, két megoldás is lehet
Három szög	AAA	Nem oldható meg: csak az alak adott, a méret nem

Példa: két oldal és a közbezárt szög

Ez a leggyakoribb feladattípus a kalkulátorban, mert az adatok között ott a szög, tehát a Pitagorasz-tétel nem használható. A hiányzó oldal a koszinusztételből jön, a terület pedig a szinuszos területképletből – anélkül, hogy a harmadik oldalra szükség lenne.

A hiányzó oldal (koszinusztétel)c = √a² + b² − 2 a b · cos γ

A terület két oldalból és a közbezárt szögbőlT = a · b · sin γ2

Kidolgozott példa · a = 12 cm, b = 7 cm, γ = 30°

Mekkora a harmadik oldal és a terület?

Koszinusztétel a c oldalra:c² = 12² + 7² − 2 · 12 · 7 · cos 30°
Behelyettesítve (cos 30° = 0,8660):c² = 144 + 49 − 168 · 0,8660 = 193 − 145,49 = 47,51
Gyököt vonunk:c = 6,89 cm
A terület – itt nem is kell a c oldal (sin 30° = 0,5):T = 12 · 7 · 0,52 = 21 cm²

Eredményc = 6,89 cm, T = 21 cm²

Melyik kalkulátort válaszd?

A háromszög típusa eldönti, hány adatra van szükség. Minél többet tudsz előre a háromszögről, annál kevesebb mérés kell:

Szükséges adatok háromszögtípusonként
Háromszög	Ennyi adat kell	Miért kevesebb?
Általános	3 (legalább 1 oldal)	Semmit nem tudunk előre
Derékszögű	2 (legalább 1 oldal)	Az egyik szöget (90°) már ismerjük
Egyenlő szárú	2	Két oldal egyenlő, két szög egyenlő
Szabályos	1	Minden oldal egyenlő, minden szög 60°

Egyenlő szárú háromszögnél például az alap és a szár már mindent meghatároz: ha az alap 16 cm, a szár 10 cm, akkor a magasság m = √10² − 8² = 6 cm, a terület pedig T = 16 · 62 = 48 cm². Ehhez fölösleges a hárommezős általános kalkulátor.

Általános háromszög: három adat kell.

Derékszögű: elég két adat, a derékszög ingyen van.

Egyenlő szárú: az alap és a szár már mindent eldönt.

Mit ad vissza a kalkulátor a három adaton túl?

A hiányzó oldalakat és szögeket – vagyis a háromszög teljes megoldását.
A területet és a kerületet.
Mind a három magasságot (m_a, m_b, m_c), amit külön nem kell számolni.
A köré írt kör sugarát (R) és a beírt kör sugarát (r).

Gyors önellenőrzés

Meg lehet-e oldani egy háromszöget, ha mindhárom szögét ismered?

Nem. A három szög csak az alakot rögzíti; végtelen sok hasonló háromszögnek ugyanaz a három szöge. Kell legalább egy oldalhossz is.

Két oldal 6 cm és 9 cm, a közbezárt szög 90°. Mennyi a terület?

T = 6 · 9 · sin 90°2 = 542 = 27 cm². Mivel sin 90° = 1, a képlet visszaadja a derékszögű esetet.

Miért nem elég két oldal és egy tetszőleges szög?

Ha a szög nem a két oldal között van, hanem a rövidebbikkel szemközt (SSA eset), akkor a szinusztételnek két különböző megoldása is lehet: egy hegyesszögű és egy tompaszögű háromszög. Ilyenkor mindkettőt ellenőrizni kell.

Gyakori kérdések

Hány adat kell a háromszög kalkulátorhoz?

Általános háromszöghöz három, és legalább egynek oldalnak kell lennie. Derékszögű háromszögnél elég kettő, egyenlő szárúnál szintén kettő, szabályos háromszögnél pedig egyetlen adat is elég.

Mi a különbség a háromszög kalkulátor és a derékszögű háromszög kalkulátor között?

Az általános kalkulátor a szinusz- és koszinusztételre épül, és bármilyen háromszöget megold három adatból. A derékszögű háromszög kalkulátor kihasználja, hogy az egyik szög 90°, ezért ott két adat is elég, és Pitagorasz-tétellel dolgozik.

Hogyan számol területet a kalkulátor?

Attól függ, mit adtál meg. Három oldalból Héron-képlettel, két oldalból és a közbezárt szögből a T = a · b · sin γ2 alakkal, alapból és magasságból pedig a T = a · m_a2 képlettel.

Miért ír hibát a kalkulátor a beírt oldalakra?

Mert a megadott oldalakból nem szerkeszthető háromszög. A háromszög-egyenlőtlenség szerint bármely két oldal összegének nagyobbnak kell lennie a harmadiknál. Ellenőrizd, nem gépeltél-e el egy számjegyet.

Kiszámolja a kalkulátor az átfogót is?

Átfogója csak derékszögű háromszögnek van – az a leghosszabb oldal, a derékszöggel szemben. Ha derékszögű háromszöget számolsz, add meg a 90°-os szöget is harmadik adatként, vagy használd inkább a derékszögű kalkulátort.