Tartalomjegyzék
Minden tananyag egy helyen
298 oldal, tíz témakörbe rendezve. Ha konkrét kérdésed van, gyorsabb a – ha viszont végig akarod venni az anyagot, itt a teljes lista.
Területszámítás
Alap és magasság, Héron-képlet, két oldal és a közbezárt szög – melyik képlet mikor a leggyorsabb.
- Egyenlő szárú háromszög területeAz egyenlő szárú háromszög területe alapból és szárból, szögből vagy visszafelé is kiszámolható. Képletek…
- Terület oldalakbólHa csak a három oldal ismert, a Héron-képlet adja a háromszög területét: félkerület, majd egy gyökvonás. …
- Derékszögű háromszög területeDerékszögű háromszög területe a két befogó szorzatának a fele. Mi a teendő, ha az átfogót vagy egy szöget…
- Egyenlő oldalú háromszög területeAz egyenlő oldalú háromszög területe az oldal négyzetének és a gyök 3-nak a szorzata, negyedelve. Levezet…
- Háromszög négyzetméterHáromszög alakú telek, terasz vagy fal négyzetméterének kiszámítása: mérés, egységváltás cm-ről m-re, ráh…
- Egyenlő szárú terület kalkulátorEgyenlő szárú háromszög terület kalkulátor: elég két adat – alap és szár, alap és magasság vagy szár és s…
- Háromszög felszíneA háromszögnek területe van, felszíne a testeknek. Itt megtalálod a háromszög területképletét és a hároms…
- Kerület és területA háromszög kerülete a három oldal összege, a területe az oldal és a magasság szorzatának a fele. Mikor m…
- Kerület és terület együttA háromszög kerülete a három oldal összege, a területe alap szor magasság per kettő. Képletek, mértékegys…
- Szabályos háromszög területeA szabályos háromszög területe T = a²·√3/4. Megmutatjuk, honnan jön a gyök 3, hogyan számolsz vissza terü…
- Terület 3 oldalbólHárom oldalból a Héron-képlet adja meg a háromszög területét. Félkerület, behelyettesítés, ellenőrzés – k…
- TerületképletekA háromszög területének nyolc képlete: alap és magasság, Héron, szinuszos, szabályos, derékszögű, körsuga…
- Tompaszögű háromszög területeTompaszögű háromszögnél ugyanaz a területképlet érvényes, csak a magasság talppontja kívülre esik. Héron,…
- A háromszög területeA háromszög területe az alap és a hozzá tartozó magasság szorzatának a fele. Megmutatjuk, miért osztunk k…
- TerületkalkulátorHáromszög területe kalkulátor általános, derékszögű, egyenlő szárú és szabályos háromszögre. Írd be az ad…
- TerületszámításTerületszámítás háromszögnél lépésről lépésre: melyik adatból melyik képlet, hogyan számolj visszafelé, é…
- Területszámítás háromszögnélHáromszög területszámítás minden adatból: alap és magasság, három oldal, két oldal és szög. Kalkulátor és…
- Terület és kerület egy feladatbanHáromszög kerülete és területe egy feladatban: derékszögű esetben előbb Pitagorasz, aztán a két képlet. S…
- Terület szinusszalA háromszög területe sin-nel: T = a·b·sin γ / 2, ahol γ a két oldal közbezárt szöge. Levezetés, tompaszög…
- Egyenlő szárú derékszögű háromszög területeAz egyenlő szárú derékszögű háromszög területe a befogóból T = a²/2, az átfogóból pedig T = c²/4. Két egy…
- Hogyan kell területet számolni?Szorozd össze az alapot a hozzá tartozó magassággal, és oszd el kettővel. A nehéz rész az adatpárosítás: …
- Derékszögű háromszög területének számításaDerékszögű háromszög területe akkor is kiszámolható, ha hiányzik egy befogó. Előbb Pitagorasz vagy szögfü…
- Derékszögű háromszög területképleteA derékszögű háromszög terület képlete T = a·b/2, ahol a és b a befogók. Négy egyenértékű alak, mikor mel…
- Területszámítás gyakorlásHáromszög terület számítás gyakorlásra: hat feladattípus, mindegyikhez végigszámolt minta és önellenőrző …
- Derékszögű háromszög területeA derékszögű háromszög területe a két befogó szorzatának a fele. Kalkulátor, valós méretekkel számolt pél…
- Terület kiszámításaHáromszög terület kiszámítása oldalból, magasságból, szögből: melyik három adat elég hozzá, melyik képlet…
- Terület magasság nélkülA háromszög területének kiszámítása akkor is megy, ha a magasság nincs megadva: oldalakból Héron-képlette…
- Általános háromszög területeAz általános háromszögnek nincs rövidítő területképlete: három oldalból Héron-képlettel, két oldalból és …
- Derékszögű terület képletA derékszögű háromszög területe képlet a két befogó szorzatának a fele. Honnan jön, hogyan írható fel átf…
- Egyenlő szárú terület képletAz egyenlő szárú háromszög területe képlet négy alakban: alappal és magassággal, alappal és szárral, szár…
- Mitől függ a területA háromszög területe csak az alaptól és a hozzá tartozó magasságtól függ, az alakjától nem. Mit változtat…
- Terület típusonkéntHáromszög terület gyorsan: alap szor magasság per kettő, plusz a derékszögű, egyenlő szárú és szabályos h…
Derékszögű háromszög
Pitagorasz-tétel, szögfüggvények, befogó és átfogó, magasság- és befogótétel.
- Derékszögű háromszög kalkulátorDerékszögű háromszög kalkulátor: két adatból megkapod az átfogót, a befogókat, a szögeket, a területet és…
- Háromszög kalkulátorHáromszög kalkulátor általános háromszöghöz: három adatból (SSS, SAS, ASA) kijön minden oldal, szög, a te…
- Hiányzó adatok kiszámításaHáromszög hiányzó oldalának kiszámítása: útmutató ahhoz, melyik tétel kell – Pitagorasz-tétel, koszinuszt…
- Háromszög számításHáromszög számítás a gyakorlatban: hány négyzetméter egy háromszög alakú telek vagy oromfal? Képletek, mé…
- SzögfüggvényekDerékszögű háromszög szögfüggvényei érthetően: mi a sin, cos és tg, melyik oldalt melyikkel oszd, hogyan …
- Derékszögű háromszög számításDerékszögű háromszög számítás papíron: egy háromszög összes adata sorban – átfogó, befogó, szögek, terüle…
- Háromszög képletekHáromszög képletek egy helyen: terület- és kerületképletek, Pitagorasz-tétel, szinusz- és koszinusztétel,…
Oldalak kiszámítása
Hiányzó oldal szögekből, szinusz- és koszinusztétel, háromszög-egyenlőtlenség.
- Derékszögű háromszög oldalaiDerékszögű háromszög oldalainak kiszámítása két adatból: Pitagorasz-tétel két oldalhoz, szögfüggvények ol…
- Oldalszámítás képleteiHáromszög oldalainak kiszámítása képletekkel: koszinusztétel, szinusztétel, Pitagorasz-tétel, egyenlő szá…
- Átfogó számításÁtfogó számítás lépésről lépésre: két befogóból Pitagorasz-tétellel, befogóból és szögből szinusszal. Kid…
- Egyenlő szárú háromszög oldalaiEgyenlő szárú háromszög szárának és alapjának kiszámítása magasságból, szögből, kerületből. A szimmetriat…
- Átfogó kalkulátorÁtfogó kalkulátor derékszögű háromszöghöz: írj be két befogót vagy egy befogót és egy szöget. Mutatjuk, m…
- Oldalak szögekbőlSzögekből önmagukban nem jön ki oldal – de egy oldallal együtt igen. A szinusztétel használata lépésről l…
- Befogó kiszámításaBefogó kiszámítása átfogóból kivonással, szögből szinusszal vagy tangenssel, területből osztással. Kidolg…
- Oldalak hosszaMilyen hosszak alkothatnak háromszöget, mit árul el az oldalak hossza a szögekről, és hogyan számolod ki …
- Háromszög átlójaA háromszögnek nincs átlója. Ha háromszög átló számítást keresel, az átfogó vagy a téglalap átlója kell: …
- Oldalak arányaA háromszög oldalainak aránya megadja az alakot, de nem a méretet. Így számolsz belőle valódi oldalhossza…
- Átfogó kiszámításaDerékszögű háromszög átfogójának kiszámítása minden adatpárból: két befogóból, befogóból és szögből, terü…
- Befogó és átfogóBefogó vagy átfogó? Az átfogó a derékszöggel szemközti leghosszabb oldal, a befogók a derékszöget fogják …
- Az alap kiszámításaAz egyenlő szárú háromszög alapja kiszámolható a szárból és a magasságból, a kerületből, a területből vag…
- A befogókA derékszögű háromszög befogói merőlegesek egymásra, ezért egyben magasságok is. Tulajdonságaik, a köztük…
- Derékszögű arányokDerékszögű háromszögben az oldalak aránya a szögeket is megadja. Pitagoraszi számhármasok, a 3:4:5 arány,…
- Az alapAz egyenlő szárú háromszög alapja a két egyenlő szártól eltérő oldal. Így ismered fel, ezek a tulajdonság…
- Az egyik befogó kiszámításaAz egyik befogó ismeretlen? Az átfogóból kivonással, szögből szinusszal, területből osztással jön ki. Nég…
- Átfogó számítás lépésről lépésreÁtfogó számítás minden bemenő adatból: két befogóból, befogóból és szögből, területből, súlyvonalból. Kal…
- Oldalszámítás egyenlő szárúnálSzár számítása alapból és magasságból, alap a szárból, oldal területből, kerületből vagy szögből. Öt beme…
- Az egyenlő szárú háromszög oldalaiAz egyenlő szárú háromszögnek két egyenlő szára és egy alapja van. Melyik a szár, melyik az alap, mekkora…
- A háromszög átfogójaÁtfogója csak a derékszögű háromszögnek van: a derékszöggel szemközti, leghosszabb oldal. Így ismered fel…
- Oldalszámítás általános háromszögbenNem derékszögű háromszögben is kiszámolható a hiányzó oldal: szinusztétellel vagy koszinusztétellel. Mely…
- Befogó 5 cm, átfogó 13 cmA másik befogó 12 cm, a terület 30 cm², a kerület 30 cm. Az 5–12–13 háromszög teljes megoldása: oldalak, …
- A derékszögű háromszög oldalaiKét befogó és egy átfogó: melyik oldal hol van, hogyan jelöljük, milyen sorrendben állnak, és milyen össz…
- BefogóBefogó csak derékszögű háromszögben van: a derékszöget közrefogó két oldal. Így számolod ki a hiányzót át…
- A háromszög oldalaiA háromszög három oldalának jelölése, a háromszög-egyenlőtlenség szabálya, és az, hogyan árulja el az old…
- Átfogó kiszámításaAz átfogó kiszámítása két befogóból, befogóból és szögből, területből vagy a súlyvonalból. Melyik képlet …
- Az átfogóMelyik oldal az átfogó, miért ő a leghosszabb, és miért egyezik meg a köré írt kör átmérőjével? Az átfogó…
- Átfogó – gyors számolásÁtfogó gyorsan: kalkulátor, a leggyakoribb pitagoraszi számhármasok táblázata, és a kerekítés, mértékegys…
- Oldalak fokokbólSzögekből önmagában nem jön ki oldalhossz – de egy ismert oldallal már igen. Szinusztétel, koszinusztétel…
- Háromszög átfogóÁtfogója csak a derékszögű háromszögnek van. Mit tegyél, ha a feladat mégis átfogót emleget egy általános…
- Alap 5 cm – kidolgozott feladatKidolgozott feladattípus: az egyenlő szárú háromszög alapja 5 cm. Mit lehet kiszámolni a szárból, a magas…
- Egyenlő szárú háromszög számításEgyenlő szárú háromszög számítás két adatból: előbb a magasság, abból a terület, majd a kerület és a szög…
- Derékszögű háromszög befogóA befogó a derékszöget közrefogó két oldal. Így ismered fel biztosan, és így számolod: Pitagorasz-tételle…
Szögszámítás
Belső és külső szögek, szögösszeg-tétel, szögek oldalakból, fokok pontosan.
- Derékszögű háromszög belső szögeiA derékszögű háromszög belső szögeinek összege 180°, ebből 90° a derékszög. Így számolod ki a két hegyess…
- Derékszögű háromszög szögszámításSzögszámítás derékszögű háromszögben négy lépésben: melyik szögfüggvény kell, melyik gombot nyomd a számo…
- Háromszög fok számításHáromszög fok számítás: a három szög összege 180°, ebből a hiányzó fok egy kivonás. Fok-perc-másodperc át…
- Háromszög belső szögei – kiszámításHárom oldalból koszinusztétellel jön ki a háromszög mindhárom belső szöge: itt a képlet, egy végigszámolt…
- Háromszög szögeinek kiszámításaA háromszög szögeinek kiszámítása négy feladattípusra bomlik: kivonás, arány, egyenlet és oldalakból szám…
- Egyenlő szárú háromszög szögeiAz egyenlő szárú háromszög két alapon fekvő szöge egyenlő. Innen egyetlen szögből mind a három kijön – ké…
- Egyenlő szárú háromszög szárszögeA szárszög a két egyenlő szár által bezárt szög. Így számolod ki az alapon fekvő szögből, az alapból és a…
- Háromszög külső szögeiA háromszög külső szöge a belső szög 180°-ra való kiegészítése, és egyben a két nem szomszédos belső szög…
- SzögszámításHáromszög szögszámítás lépésről lépésre: a 180°-os szabály, a szögfüggvények és a koszinusztétel. Kalkulá…
- Belső szögek összegeA háromszög belső szögeinek összege 180°. Itt van a párhuzamos egyeneses bizonyítás, a papírkísérlet és a…
- Derékszögű szögek oldalakbólDerékszögű háromszög szögeinek kiszámítása két oldalból: melyik szögfüggvény kell, hogyan használd az inv…
- Egyenlő szárú derékszögű szögeiAz egyenlő szárú derékszögű háromszög szögei 90°, 45° és 45°. Levezetés, az 1 : 1 : √2 oldalarány, félnég…
- A háromszög szögeiA háromszög szögei: jelölés, belső és külső szögek kapcsolata, mekkorák lehetnek, és mit árulnak el a hár…
- Szögösszeg a feladatokbanA háromszög belső szögeinek összege 180° – itt az van, hogyan használd feladatban: arányos szögek, egyenl…
- SzögösszefüggésekA háromszög szögeivel kapcsolatos összefüggések egy helyen: szögösszeg, külső szög tétele, szög-oldal sor…
- Derékszögű szögek gyorsanDerékszögű háromszög szögeinek számítása fejben: a 90° mínusz alfa szabály, a nevezetes 30-60-90 és 45-45…
- Háromszög belső szögeiA háromszög három belső szöge mindig 180°-ot ad ki. Így számolod ki a hiányzó szöget, ilyenek a derékszög…
- Derékszögű háromszög szögeiA derékszögű háromszög egyik szöge 90°, a másik kettő együtt szintén 90°. Kalkulátor, a nevezetes 3-4-5 é…
- Külső szögek összege – levezetésA háromszög külső szögeinek összege 360°. Két levezetés arra, miért pont ennyi, és mennyi a belső és küls…
- Mennyi a külső szögek összege?Pontosan 360° – bármilyen alakú is a háromszög. Konkrét háromszögek végigszámolva, és a három szám, amit …
- Külsőszög-tételA három külső szög összege 360°, egy külső szög pedig a két nem mellette fekvő belső szög összege. Felada…
- Hatszög belső szögeiA hatszög belső szögeinek összege 720°, a szabályos hatszög egy szöge 120°. Itt a képlet minden sokszögre…
Magasság
Magasság kiszámítása és szerkesztése minden háromszögtípusban.
- Háromszög magasságaHogyan számold ki a háromszög magasságát területből, oldalakból vagy szögekből? Képletek minden háromszög…
- Egyenlő szárú háromszög magasságaAz egyenlő szárú háromszög magassága a szárból és a fél alapból, Pitagorasz-tétellel jön ki. Képlet, kalk…
- Szabályos háromszög magasságaA szabályos háromszög magassága az oldal 0,866-szorosa, vagyis az oldal és a gyök 3 szorzatának a fele. L…
- Derékszögű háromszög magasságaDerékszögű háromszögben két magasság maga a két befogó, az átfogóhoz tartozó pedig m = a·b/c. Magasságtét…
- Magasság kiszámítása lépésenkéntMelyik képlet kell? A magasság kiszámítása a megadott adatok szerint, szabályos, egyenlő szárú és deréksz…
- Szárhoz tartozó magasságA szárhoz tartozó magasság nem esik a szimmetriatengelyre, ezért nem Pitagorasz-tétellel jön ki. Területe…
- Hogyan számolj magasságotHa most találkozol először a feladattal: mi a magasság, mit kell megnézni a feladatban, és melyik két kép…
- Magasságkalkulátor (egyenlő szárú)Számold ki az egyenlő szárú háromszög magasságát két adatból: alap és szár, alap és szög vagy szár és szá…
- Magasságvonal kiszámításaA magasságvonal hossza a magasság, egyenlete pedig koordinátageometriával adódik: a szemközti oldal irány…
- Magasság számítása adatokbólHáromszög magassága számítás minden bemenő adatra: területből, három oldalból, befogókból és szögből. Dön…
- Egyenlő szárú: magasság oda-visszaEgyenlő szárú háromszög magasság kiszámítása alapból és szárból, és visszafelé is: a magasságból alap, sz…
- Derékszögű háromszög magasságvonalaiA derékszögű háromszög két magasságvonala maga a két befogó, a harmadik az átfogóra merőleges. Hol a maga…
- Egyenlő szárú magasság szögekbőlEgyenlő szárú háromszög magasságának kiszámítása szögekből: szárszögből, alapon fekvő szögből, és külön a…
- Magasság a területképletbőlHáromszög magasság számítás a területképlet átrendezésével, 7–8. osztályos szinten. Mértékegységek, m²-es…
- Derékszögű magasság bemenő adatokbólDerékszögű háromszög magasságának kiszámítása két befogóból, átfogóból és befogóból, illetve átfogóból és…
- Magasságképletek levezetésselA háromszög magasságának összes képlete egy helyen: általános, Héron-féle, szögfüggvényes, derékszögű és …
- Magasságvonal – hol húzódikMi a háromszög magasságvonala, és hol fut hegyesszögű, derékszögű és tompaszögű háromszögben? A magasságp…
- A háromszög magasságaA háromszög magassága a csúcsból a szemközti oldalra állított merőleges szakasz. Mindhárom magasság a ter…
Nevezetes vonalak és pontok
Súlyvonal, súlypont, szögfelező, középvonal, magasságpont, körülírt és beírt kör.
- Köré írható kör sugaraA háromszög köré írható kör sugara R = abc/(4T), vagy a szinusztételből R = a/(2·sin α). Szabályosra és d…
- Derékszögű háromszög súlyvonalaDerékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó súlyvonal az átfogó fele: s = c/2. A befogókhoz tartozó két …
- Nevezetes vonalakMagasságvonal, súlyvonal, szögfelező, oldalfelező merőleges és középvonal: mit jelentenek, hol metszik eg…
- Súlyvonal egyenleteA súlyvonal egyenlete négy lépésben: oldalfelező pont, irányvektor, normálvektor, behelyettesítés. Kidolg…
- Beírt kör sugara derékszögűbenDerékszögű háromszögben a beírt kör sugara r = (a + b − c)/2, minden más háromszögben r = T/s. Kalkulátor…
- A háromszög súlyvonalaA súlyvonal a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával köti össze. Hossza a három oldalból számolható, f…
- A háromszög súlypontjaA háromszög súlypontja a három súlyvonal metszéspontja, mindig a háromszög belsejében. Koordinátái a csúc…
- Derékszögű háromszög súlypontjaDerékszögű háromszögben a súlypont a befogók harmadánál van, a derékszög csúcsától pontosan c/3 távolságr…
- Köré írható kör sugarának számításaMelyik képlettel számold ki a háromszög köré írható kör sugarát? Három oldalból, oldalból és szögből, der…
- Súlypont – a 2:1 arányA súlypont a súlyvonalak metszéspontja, és 2:1 arányban osztja őket. Így számold ki a koordinátáit, és ez…
- KözépvonalA háromszög középvonala két oldal felezőpontját köti össze, párhuzamos a harmadik oldallal, és fele akkor…
- Köré írható kör sugara – képletekKöré írható kör sugara szabályos, derékszögű és egyenlő szárú háromszögben: kész képletek, honnan jönnek,…
- Beírt körA beírt kör mindhárom oldalt érinti, középpontja a szögfelezők metszéspontja, sugara r = T/s. Képletek, é…
- Nevezetes vonalak és pontokNégy nevezetes vonal, négy nevezetes pont: magasságvonal, súlyvonal, szögfelező, oldalfelező merőleges. M…
- Súlyvonal hosszaMekkora a háromszög súlyvonala? A súlyvonal hosszának képlete három oldalból, plusz a derékszögű, egyenlő…
- Köré írható kör középpontjaA köré írható kör középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja. Hol van hegyes-, derék- és tompas…
- Háromszög szögfelezőjeA háromszög szögfelezője a csúcsból indul, és két egyenlő részre osztja a szöget. Szögfelező-tétel, körző…
- A háromszög szögfelezőiA háromszög három belső szögfelezője egy pontban metszi egymást: ez a beírt kör középpontja. Miért igaz e…
- Köré írható kör egyenleteHárom csúcs koordinátáiból megkapod a háromszög köré írható kör egyenletét. Felezőmerőlegesek és az által…
- Köré írható körMinden háromszögnek pontosan egy köré írható köre van. Hol a középpontja, miért az oldalfelező merőlegese…
- Középpont és súlyvonalAz állítás hamis: általános háromszögben a köré írható kör középpontja egyik súlyvonalra sem esik. Ellenp…
- Tompaszögű háromszög köré írt köreTompaszögű háromszögnél a köré írható kör középpontja a háromszögön kívülre, a leghosszabb oldal túloldal…
- Derékszögű háromszög köré írt köreDerékszögű háromszögben a köré írható kör sugara az átfogó fele: R = c/2. Miért igaz ez a Thalész-tétel m…
- Köré írható kör szerkesztéseKét oldalfelező merőleges körzős szerkesztése, és megvan a háromszög köré írható körének középpontja. Lép…
Háromszögfajták
Egyenlő szárú, szabályos, hegyesszögű, tompaszögű – tulajdonságok és képletek.
- Egyenlő szárú derékszögű háromszögAz egyenlő szárú derékszögű háromszög szögei 45°, 45° és 90°, oldalainak aránya 1 : 1 : gyök 2. Oldalak, …
- A háromszög tulajdonságaiA háromszög tulajdonságai egy helyen: 180°-os szögösszeg, háromszög-egyenlőtlenség, oldal-szög sorrend, n…
- Hegyesszögű háromszögHegyesszögű az a háromszög, amelynek mindhárom szöge 90°-nál kisebb. Így döntheted el három oldalból, ily…
- Derékszögű háromszög tulajdonságaiA derékszögű háromszög tulajdonságai: hegyesszögek összege 90°, Pitagorasz-tétel, Thalész-kör, magasságpo…
- Félszabályos háromszögA félszabályos háromszög a szabályos háromszög fele: szögei 30°, 60° és 90°, oldalainak aránya 1 : gyök 3…
- Tengelyesen szimmetrikus háromszögTengelyesen szimmetrikus háromszög pontosan az egyenlő szárú: egy tengellyel, a szabályos hárommal. Hol a…
- Egyenlő szárú háromszögAz egyenlő szárú háromszögnek két egyenlő oldala és két egyenlő szöge van. Melyik két adatból mi számolha…
- Egyenlő oldalú háromszögAz egyenlő oldalú háromszög mindhárom oldala és szöge egyenlő, minden szöge 60°. Öt arányszám az oldalhoz…
- Tompaszögű háromszögTompaszögű a háromszög, ha az egyik szöge 90°-nál nagyobb. Így ismered fel három oldalból, így számolsz t…
- Középpontosan szimmetrikus háromszögKözéppontosan szimmetrikus háromszög nem létezik: a csúcsoknak párba kellene állniuk, háromból viszont ma…
- Szimmetrikus háromszögEgy háromszög akkor szimmetrikus, ha van két egyenlő oldala: ilyenkor 1 tengelye van, szabályosnál 3. Szi…
- Konvex háromszögMinden háromszög konvex, mert egyik belső szöge sem érheti el a 180°-ot: a három szög összege ennyi. Bizo…
- Tükrös háromszögA tükrös háromszög a tengelyesen szimmetrikus, vagyis az egyenlő szárú háromszög másik neve. Mit jelent a…
- Általános háromszögAz általános háromszögnek nincs egyenlő oldala és derékszöge, ezért csak a mindig érvényes képletek marad…
- Egyenlő szárú háromszög tulajdonságaiAz egyenlő szárú háromszög minden tulajdonsága egy helyen: egyenlő alapon fekvő szögek, a négy szerepű sz…
- A háromszögA háromszög három szakasszal határolt síkidom. Itt van az elemeinek jelölése, a két alapszabálya, a fajtá…
- Háromszög fajtáiA háromszög fajtái szögek szerint: hegyesszögű, derékszögű, tompaszögű; oldalak szerint általános, egyenl…
- Szabályos háromszögA szabályos háromszög minden oldala egyenlő, minden szöge 60°. Kerület, terület, magasság, beírt és körül…
- Háromszög angolulA háromszög angolul triangle, a derékszögű háromszög right triangle. Háromszögfajták, oldalak, szögek, té…
- Konkáv háromszögKonkáv háromszög nem létezik: a belső szögek összege 180°, így egyik szöge sem lehet 180°-nál nagyobb. Az…
Szerkesztés
Körzővel és vonalzóval, lépésről lépésre, minden alapesettel.
- Magasságvonal szerkesztéseHáromszög magasságvonal szerkesztése lépésről lépésre: merőleges állítása körzővel a csúcsból a szemközti…
- Háromszög szerkeszthetőségeMikor szerkeszthető meg a háromszög? A háromszög-egyenlőtlenség, a szögösszeg feltétele és a diszkusszió:…
- Derékszögű háromszög szerkesztéseDerékszögű háromszög szerkesztése 2 oldalból: két befogóból merőlegessel, befogóból és átfogóból Thalész-…
- Szabályos háromszög szerkesztéseSzabályos háromszög szerkesztése két körívvel: a lépések, a 60°-os szög megszerkesztése, szerkesztés adot…
- Szerkesztés alapeseteiA háromszög szerkesztés négy alapesete: három oldal, két oldal és a közbezárt szög, egy oldal és a rajta …
- Háromszög szerkesztése 7. osztályHáromszög szerkesztése 7. osztályban: mit írj a füzetbe, milyen sorrendben szerkessz, hogyan ellenőrizd a…
- Háromszög tengelyes tükrözéseHáromszög tengelyes tükrözése csúcsonként: merőleges a tengelyre, távolság átmérése körzővel. Tulajdonság…
- Szerkesztés körzővelHáromszög szerkesztése körzővel három oldalból, plusz a négy alapszerkesztés: szakaszmásolás, szakaszfele…
- A szerkesztés meneteA háromszög szerkesztésének menete öt lépésben: adatok, vázlatrajz, sorrend, szerkesztés, diszkusszió. Ki…
- Elforgatás 60 fokkalHáromszög elforgatása 60 fokkal körzővel: a kör sugara pont 60°-os szöget mér ki. Szerkesztés lépésenként…
- Hegyesszögű háromszög szerkesztéseHegyesszögű háromszög szerkesztése három oldalból vagy két szögből. Mikor lesz mind a három szög 90° alat…
- Tengelyes tükrözés és a háromszögMi történik a háromszöggel tengelyes tükrözéskor? Mi marad ugyanaz, mi fordul meg, hol vannak a fixpontok…
- Tompaszögű háromszög szerkesztéseTompaszögű háromszög szerkesztése két oldalból és a közbezárt szögből vagy három oldalból. A 120°-os szög…
- Tükrös háromszög szerkesztéseTükrös, vagyis tengelyesen szimmetrikus háromszög szerkesztése alapból és szárból vagy alapból és magassá…
- Tükrözés körzővelHáromszög tengelyes tükrözése körzővel, vonalzó és szögmérő nélkül: két körív minden csúcshoz. A szerkesz…
Tételek
Pitagorasz, szinusztétel, koszinusztétel, magasságtétel, hasonlóság és egybevágóság.
- Háromszög tételeiA háromszög tételei egy helyen: szögösszeg, háromszög-egyenlőtlenség, Pitagorasz-, befogó-, magasság-, sz…
- Szinusztétel derékszögűbenDerékszögű háromszögben a szinusztétel a sin α = a / c definícióvá egyszerűsödik, a koszinusztétel pedig …
- Belső szögek arányaHa a belső szögek aránya adott, oszd el a 180°-ot az arányszámok összegével. Képlet, két végigszámolt pél…
- Hasonlóság alapeseteiA háromszög hasonlóságának négy alapesete: azonos oldalarány, két oldal aránya és a közbezárt szög, két e…
- Arányosság a háromszögbenArányosság a háromszögben: a párhuzamos szelők tétele, a középvonal, a szögfelező osztása és a súlypont 2…
- Egybevágóság alapeseteiA háromszög egybevágóságának négy alapesete: SSS, SAS, ASA és a nagyobb oldallal szemközti szög esete. Mi…
- Egybevágó háromszögKét háromszög egybevágó, ha mozgatással fedésbe hozható. A pontos fogalom, a jelölés, az egybevágósági tr…
- ArányszámításHasonló háromszögeknél az oldalak és a kerület a k arányban, a terület k négyzete szerint változik – rece…
- Háromszög hasonlóságKét háromszög hasonló, ha szögeik egyenlők és oldalaik aránya azonos. Itt a négy alapeset, a λ arányszám,…
- Háromszög-egyenlőtlenségA háromszög-egyenlőtlenség szerint bármely két oldal összege nagyobb a harmadiknál. Itt a tétel, a harmad…
- BefogótételA befogótétel szerint a befogó négyzete az átfogó és a rá eső szelet szorzata: a² = p·c. Képlet, hasonlós…
- Pitagorasz-tételA Pitagorasz-tétel szerint a befogók négyzetösszege az átfogó négyzete: a² + b² = c². Képlet, megfordítás…
- MagasságtételA magasságtétel szerint az átfogóhoz tartozó magasság a két szelet mértani közepe: m² = p·q. Képlet, haso…
A kör
Kerület, terület, körcikk, körív és körgyűrű – π-vel barátkozva.
- Kör területeA kör területe T = r²·π. Így számold ki sugárból, átmérőből vagy kerületből: képlet, kalkulátor, három ki…
- Kör kerületeA kör kerülete K = 2·r·π, átmérőből K = d·π. Kalkulátor, kidolgozott példák sugárból, átmérőből és vissza…
- Kör egyenleteA kör egyenlete koordinátageometriában: (x−u)² + (y−v)² = r². Középponti és általános alak, teljes négyze…
- Körcikk területeA körcikk területe T = r²·π·α/360, ívhosszból pedig T = i·r/2. Kalkulátor, kidolgozott példák középponti …
- Kör területe képletA kör területe képlet T = r²·π, és minden átrendezése: sugárra, átmérőre, kerületre. Miért nem 2rπ, hova …
- Kör kerülete képletA kör kerülete képlet: K = 2·r·π, átmérőből K = d·π. Honnan jön, mikor melyik alakot használd, és hogyan …
- Kör kerülete számításKör kerülete számítás lépésről lépésre: kalkulátor, kerékfordulat, szegélyhossz és visszafelé számolás mé…
- Kör területe átmérőbőlA kör területe átmérőből: T = d²·π/4, vagyis feleződ az átmérőt, és négyzetre emelsz. Kalkulátor, pizza- …
- Kör kalkulátorKör területe és kerülete kalkulátor: egy adatból megkapod a sugarat, az átmérőt, a kerületet és a terület…
- A pi számA pi értéke 3,14159265…, vagyis minden kör kerületének és átmérőjének a hányadosa. Mikor elég a 3,14, mik…
- Körív hosszaA körív hossza képlet: i = 2·r·π·α/360, radiánban i = r·α. Kalkulátor, kidolgozott példák fokból és radiá…
- Kör sugaraA kör sugarának kiszámítása kerületből r = K/(2π), területből r = √(T/π), átmérőből r = d/2. Kalkulátor, …
- Kör átmérőjeA kör átmérője a sugár kétszerese: d = 2r. Kerületből d = K/π, területből d = √(4T/π). Kalkulátor, kidolg…
- Körgyűrű területeA körgyűrű területe T = (R² − r²)·π, szorzattá alakítva (R + r)(R − r)·π. Kalkulátor, kidolgozott példák …
- Körszelet területeA körszelet területe a körcikk és a háromszög különbsége: T = r²π·α/360 − r²·sin α/2. Kalkulátor, húr és …
- Kör kerülete és területe feladatokHét kidolgozott feladat a kör kerületére és területére: sugárból, átmérőből, visszafelé kerületből és ter…
Négyszögek
Téglalap, négyzet, paralelogramma, rombusz, trapéz és deltoid egy rendszerben.
- Téglalap területeA téglalap területe T = a · b, a két szomszédos oldal szorzata. Kalkulátor, kidolgozott példák, a kerület…
- Trapéz területeA trapéz területe T = (a + c)/2 · m, a két párhuzamos oldal átlagának és a magasságnak a szorzata. Kalkul…
- Paralelogramma területeA paralelogramma területe T = a · m, az alap és a hozzá tartozó magasság szorzata. Kalkulátor, levezetés,…
- Rombusz területeA rombusz területe az átlók szorzatának a fele: T = e · f / 2. Kalkulátor, három számolási út (átlók, ala…
- Deltoid területeA deltoid területe T = e · f / 2, az átlók szorzatának a fele. Konkáv deltoidra ugyanez érvényes – kalkul…
- Négyzet területeA négyzet területe T = a², az oldal négyzete. Így számold ki kerületből (T = K²/16) és átlóból (T = e²/2)…
- Négyzet kerületeA négyzet kerülete K = 4 · a, az oldal négyszerese. Így számold ki területből (K = 4·√T) és így használd …
- Téglalap kerületeA téglalap kerülete K = 2 · (a + b), a két szomszédos oldal összegének kétszerese. Kalkulátor, kidolgozot…
- Négyszög területeMelyik négyszögnek melyik területképlet jár, és mit csinálj, ha a négyszög semmilyen ismert típusba nem f…
- Sokszög belső szögeinek összegeA sokszög belső szögeinek összege (n − 2) · 180°, mert n − 2 háromszögre bontható. Levezetés, táblázat 3-…
- Derékszögű trapéz területeA derékszögű trapéznál a merőleges szár maga a magasság, ezért T = (a + c)/2 · m egy lépésben megvan. Kal…
- Trapéz területe képletA trapéz területképlete T = (a + c)/2 · m, és minden átrendezése egy helyen. Jelölésváltozatok, a zárójel…
- Szabályos sokszög szögeiSzabályos sokszögnél a belső szögek összege (n − 2) · 180°, egyetlen szöge pedig ennek n-ed része. Tábláz…
- Négyszög belső szögeinek összegeA négyszög belső szögeinek összege mindig 360°, mert egy átló két háromszögre bontja. Levezetés, hiányzó …
- Egyenlő szárú trapéz területeA szimmetrikus trapéz területe T = (a + c)/2 · m, a magasság pedig a szárból jön: a túlnyúlás (a − c)/2, …
- Általános négyszög területeAz általános négyszög területe négy oldalból nem számolható ki: kell egy ötödik adat. Átlós felbontás Hér…
- Téglalap területe képletA téglalap területének képlete T = a · b, és minden átrendezése egy helyen. Jelölésváltozatok, behelyette…
- Téglalap átlójaA téglalap átlója e = √(a² + b²), mert az átló a két oldallal derékszögű háromszöget alkot. Kalkulátor, v…
- Paralelogramma területe képletA paralelogramma területének képlete T = a · m, alap szorozva a hozzá tartozó magassággal. A képlet három…
Testek: felszín és térfogat
Kocka, téglatest, henger, gúla, kúp és gömb – rajzzal és képlettel.
- Henger térfogataA henger térfogata V = r²·π·m: az alapkör területe szorozva a magassággal. Kalkulátor, három kidolgozott …
- Gömb térfogataA gömb térfogata V = 4/3·r³·π. Sugárból, átmérőből és visszafelé is: kalkulátor, három kidolgozott példa,…
- Kocka térfogataA kocka térfogata V = a³, vagyis az él köbe. Élből, felszínből és térfogatból visszafelé is: kalkulátor, …
- Téglatest térfogataA téglatest térfogata V = a·b·c, a három él szorzata. Kalkulátor, akváriumpélda literben, hiányzó él viss…
- Kúp térfogataA kúp térfogata V = r²·π·m/3, vagyis az azonos alapú henger harmada. Alkotóból is: Pitagorasz-tétellel ma…
- Hasáb térfogataA hasáb térfogata V = T_alap · m, bármilyen sokszög is az alaplap. Négyzetes és hatszög alapú példa, egye…
- Gúla felszíneA gúla felszíne A = T_alap + palást. Négyzet alapú gúlánál lépésről lépésre: oldallapmagasság Pitagorasz-…
- Henger felszíneA henger felszíne A = 2r²π + 2rπ·m: két alapkör és a kiterített palást. Kalkulátor, palástszámítás, példá…
- Kocka felszíneA kocka felszíne A = 6a², mert hat egybevágó négyzet határolja. Kalkulátor, számolás élből és visszafelé …
- Téglatest felszíneA téglatest felszíne A = 2(ab + ac + bc), mert három lappár határolja. Kalkulátor, lappáros táblázat, szo…
- TérfogatszámításTérfogatszámítás lépésről lépésre: melyik test melyik képlettel, hogyan válts liter és m³ között, és miko…
- Háromszög alapú hasábA háromszög alapú hasáb térfogata V = T·m. Megmutatjuk, hogyan jön ki az alapháromszög területe derékszög…
- FelszínszámításFelszínszámítás egyszerűen: a felszín a test lapjainak összterülete. Képlettáblázat kockától gömbig, háló…
- Gömb felszíneA gömb felszíne A = 4r²π, pontosan a főkör területének négyszerese. Kalkulátor, számolás átmérőből és fel…
- Gúla térfogataA gúla térfogata V = (T·m)/3, vagyis a hasáb térfogatának harmada. Négyzet alapú gúla, magasság az oldall…
- Kúp felszíneA kúp felszíne A = r²π + rπs, a palástja P = rπs. A palást kiterítve körcikk – itt a levezetés, kalkuláto…
- Csonka kúp térfogataA csonka kúp térfogata V = (π·m/3)·(R² + R·r + r²). Levezetés kivonással, két kidolgozott példa, a palást…
- Csonka gúla felszíneA csonka gúla felszíne az alaplap, a fedőlap és a trapéz alakú oldallapok összege. Képlet, oldallap-magas…
Pitagorasz-tétel
A tétel, a bizonyítása, a megfordítása és a tipikus feladattípusok.
- Pitagorasz-tételA Pitagorasz-tétel szerint derékszögű háromszögben a² + b² = c². Képlet átfogóra és befogóra, kalkulátor,…
- Pitagorasz-tétel feladatokPitagorasz-tétel feladatok teljes megoldással: létra a falnál, téglalap átlója, egyenlő szárú és szabályo…
- Pitagorasz-tétel bizonyításaA Pitagorasz-tétel bizonyítása háromféleképpen: átdarabolással, hasonlóság (befogótétel) alapján és Garfi…
- Pitagorasz-tétel megfordításaA Pitagorasz-tétel megfordítása: ha a² + b² = c², a háromszög derékszögű. Így döntöd el három oldalból a …
- Pitagorasz-tétel alkalmazásaHol használható a Pitagorasz-tétel a háromszögön kívül? Két pont távolsága, kocka és téglatest testátlója…
- Pitagorasz-kalkulátorPitagorasz-tétel kalkulátor: írd be a két befogót vagy az átfogót és egy befogót, és megkapod a hiányzó o…
- Pitagoraszi számhármasokPitagoraszi számhármasok táblázata, a 3-4-5 háromszög, a primitív és származtatott hármasok különbsége, é…
- Pitagorasz-tétel 8. osztályPitagorasz-tétel 8. osztályban: pontosan mit kérnek a dolgozatban, a három tipikus feladattípus megoldva,…
Mértékegységek és négyzetméter
Négyzetméter-számítás a gyakorlatban és minden átváltás egy táblázatban.
- Négyzetméter számításNégyzetméter számítás egyszerűen: hosszúság szor szélesség méterben. Képlet, kalkulátor, cm-ből m²-be vál…
- TerületszámításTerületszámítás képletek egy helyen: téglalap, négyzet, háromszög, paralelogramma, trapéz, rombusz, kör. …
- Átváltási táblázatMértékegység átváltás táblázat hosszúsághoz, területhez, térfogathoz, tömeghez és időhöz. Váltószámok, a …
- Átváltás feladatokMértékegység átváltás feladatok megoldással: hosszúság, terület, tömeg, űrtartalom és idő. Vegyes egysége…
- Tömeg mértékegységekTömeg mértékegység átváltás: mg, g, dkg, kg, mázsa, tonna váltószámai táblázatban, konyhai és bolti példá…
- Hosszúság mértékegységekHosszúság mértékegység átváltás: mm, cm, dm, m, km váltószámai, a tizedesvessző mozgatása, kerületszámítá…
- Szoba négyzetmétereSzoba négyzetméter számítás lépésről lépésre: mérés, L alakú helyiség felbontása, fülkék és kémény levoná…
- cm² m² átváltáscm2 m2 átváltás: a váltószám 10 000, nem 100. Négyzetcentiméter és négyzetméter oda-vissza, kidolgozott p…
- Tető négyzetméterTető négyzetméter számítás lépésről lépésre: a tetőfelület mindig nagyobb az alapterületnél. Szarufahossz…
- Fal négyzetméterFal négyzetméter számítás: kerület szorozva a belmagassággal, mínusz ajtó és ablak. Festés négyzetméterre…
- Térfogat mértékegységekTérfogat mértékegység átváltás: mm³, cm³, dm³, m³ között a váltószám 1000. Liter és köbméter kapcsolata, …
Százalékszámítás
Alap, százalékláb, százalékérték – és az áfa, a kedvezmény, a visszafelé számolás.
- SzázalékszámításA százalékszámítás három alapfeladata: százalékérték, százalékláb és alap kiszámítása képlettel, kalkulát…
- Áfa számításÁfa számítás lépésről lépésre: nettóból bruttó, a fizetendő áfa összege, a 27%, 18% és 5% kulcsok szorzót…
- Százalékszámítás képleteA százalékszámítás képletei egy helyen: alapképlet, átrendezett alakok, szorzótényezős forma és a százalé…
- Egyszerű százalékszámításSzázalékszámítás kezdőknek képletek nélkül: az 1%-módszer és a 10%-os építőkockák. Így számolsz ki bármil…
- SzázalékkalkulátorSzázalékszámítás kalkulátor mindkét irányba: alap, százalékláb és százalékérték bármelyik kettőből, plusz…
- Áfa visszafeléBruttóból nettó és áfa: 27%-os kulcsnál oszd 1,27-del, ne vonj le 27%-ot. Osztók a 18% és 5% kulcshoz, ka…
- Százalékszámítás feladatokSzázalékszámítás gyakorló feladatok három nehézségi szinten, teljes megoldással: alapfeladatok, növelés-c…
- Százalékszámítás 7. osztálybanSzázalékszámítás 7. osztályban: a következtetéses módszer, a szöveges feladatok lefordítása lépésről lépé…
- Százalékos növelés és csökkentésSzázalékos növelés és csökkentés egyetlen szorzással: a szorzótényező használata, kedvezmények láncolása …
- Fordított százalékszámításFordított százalékszámítás: hogyan számold ki az alapot, ha az ismert szám nem a 100%. Két esettípus, osz…
- Két szám százalékos eltéréseKét szám százalékos eltérése: a különbséget mindig a viszonyítási alaphoz osztod. Hány százalékkal több, …
Másodfokú egyenlet
Megoldóképlet, diszkrimináns, gyöktényezős alak és a parabola.
- Másodfokú egyenletMásodfokú egyenlet megoldása lépésről lépésre: rendezés nulla alakra, diszkrimináns, megoldóképlet. Kalku…
- MegoldóképletA másodfokú egyenlet megoldóképlete: levezetés teljes négyzetté alakítással, a behelyettesítés előjelszab…
- Másodfokú feladatokHét másodfokú egyenlet feladat teljes megoldással, könnyűtől a nehézig: alapfeladat, kétszeres gyök, záró…
- Másodfokú kalkulátorMásodfokú egyenlet kalkulátor online: írd be az a, b, c együtthatót, és megkapod a diszkriminánst, a két …
- Hiányos másodfokú egyenletHiányos másodfokú egyenlet megoldása képlet nélkül: ha b = 0, gyökvonással, ha c = 0, kiemeléssel megy. M…
- DiszkriminánsA másodfokú egyenlet diszkriminánsa: D = b² − 4ac. Megmutatja, hány valós gyök van, hogy áll a parabola, …
- Gyöktényezős alakA másodfokú kifejezés gyöktényezős alakja: a(x − x₁)(x − x₂). Hogyan bontsd szorzattá, mire jó törtek egy…
- Másodfokú szöveges feladatokMásodfokú egyenlet szöveges feladatok: hogyan írd fel a szövegből az egyenletet, és mikor kell elvetni az…
- Viète-formulákA Viète-formulák szerint a másodfokú egyenlet gyökeinek összege −b/a, szorzatuk c/a. Levezetés, gyors ell…
Szögfüggvények
Szinusz, koszinusz, tangens – a derékszögű háromszögtől az egységkörig.
- Szögfüggvények (sin, cos, tg)Mi a szinusz, koszinusz és tangens? A szögfüggvények definíciója derékszögű háromszögben, nevezetes érték…
- SzinusztételA szinusztétel képlete: a oldal és sin α hányadosa minden oldalra ugyanaz. Mikor használd, hogyan kerüld …
- KoszinusztételA koszinusztétel képlete: c² = a² + b² − 2ab·cos γ. Két oldal és a közbezárt szög, vagy három oldal eseté…
- Szögfüggvények derékszögűbenMelyik szögfüggvényt válaszd a derékszögű háromszögben? Döntési táblázat, négylépéses megoldási recept és…
- Sin, cos, tg – mi a különbségMi a különbség a szinusz, a koszinusz és a tangens között, és melyiket mikor használd? Döntési táblázat é…
- Szögfüggvény-táblázatSzögfüggvény-táblázat 0°-tól 90°-ig, öt fokonként: sin, cos, tg értékek. Hogyan olvasd ki, hogyan keress …
- Radián–fok átváltásFokból radián: szorozz π/180-nal. Radiánból fok: szorozz 180/π-vel. Átváltási táblázat a nevezetes szögek…
- Nevezetes szögekA 30, 45 és 60 fok pontos szögfüggvényértékei, a levezetésük a szabályos háromszögből és a négyzetből, me…
- EgységkörAz egységkör az origó középpontú, 1 sugarú kör. A rajta lévő pont koordinátái cos α és sin α – így lesz s…
- Szögfüggvény-feladatokÖt tipikus szögfüggvényes feladat lépésenkénti megoldással: hiányzó oldal, hiányzó szög, szöveges feladat…
- Szögfüggvény-kalkulátorSzögfüggvény-kalkulátor: írj be egy szöget fokban, és megkapod a sin, cos, tg és ctg értékét, valamint a …
Kerület
Kerületszámítás minden háromszögtípusra, visszafelé is: kerületből oldalak.
- Szabályos háromszög kerületeA szabályos háromszög kerülete K = 3a, mert mindhárom oldala egyenlő. Kalkulátor, visszafelé számolás, ke…
- Derékszögű háromszög kerületeA derékszögű háromszög kerülete K = a + b + c, de a harmadik oldalt szinte mindig Pitagorasz-tétellel kel…
- Egyenlő szárú háromszög kerületeAz egyenlő szárú háromszög kerülete K = a + 2b: az alap plusz a szár kétszerese. Kalkulátor, visszafelé s…
- KerületszámításHáromszög kerület számítás lépésről lépésre: mértékegység-váltás, hiányzó oldal pótlása, arányos feladato…
- Háromszög kerületeA háromszög kerülete a három oldal összege: K = a + b + c. Mit jelent pontosan, mikor létezik egyáltalán …
- Kerület hiányzó oldalakbólKerület számítás háromszögnél, amikor az oldalak nincsenek megadva: koszinusztétel, szögfüggvények és koo…
- Kerület képletA háromszög kerülete képlet: K = a + b + c, és minden átrendezése. Típusonkénti alakok, a félkerület szer…
- Kerület hiányzó oldallalEgyenlő szárú háromszög kerületének kiszámítása, ha az alap vagy a szár hiányzik: magasságból, szögből, t…
- Kerület hiányzó oldallalHáromszög kerületének kiszámítása akkor is megy, ha nincs meg mind a három oldal: Pitagorasz-tétel, koszi…
- A háromszög kerületeA háromszög kerülete a három oldal összege. Mit jelent pontosan, milyen mértékegységben add meg, és hogya…