Derékszögű háromszög szögfüggvényei – sin, cos, tg

Q: Mi a sin, cos és tg a derékszögű háromszögben?

A kiválasztott hegyesszöghöz képest: sin α = (szemközti)/(átfogó), cos α = (melletti)/(átfogó), tg α = (szemközti)/(melletti). Mindhárom egy-egy oldalhányados, ami csak a szögtől függ.

Szögfüggvény-kalkulátor

Írj be két oldalt, és megkapod a szögeket – vagy adj meg egy oldalt és egy szöget, és kijönnek a hiányzó oldalak.

azonnal számol

Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.

Példa:

a oldal: –
b oldal: –
c oldal: –
Felszín: –
β szög: –
Terület: –
Kerület: –
m_c magasság: –
Köré írt kör sugara R: –
Beírt kör sugara r: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

Mi a derékszögű háromszög három oldala?

A derékszögű háromszög az, amelyiknek van egy 90°-os szöge. A vele szemközti, leghosszabb oldal az átfogó, a derékszöget közrefogó két rövidebb oldal a befogó. A jelölésünkben a derékszög a C csúcsnál van, tehát c az átfogó, a és b a befogók.

A szögfüggvényeknél viszont nem a betű számít, hanem a nézőpont: mindig egy kiválasztott hegyesszöghöz képest beszélünk szemközti és melletti befogóról. Ugyanaz az oldal az egyik szögnek szemközti, a másiknak melletti.

Az α szög nézőpontjából az a a szemközti, a b a melletti befogó, c pedig az átfogó. A β szögből nézve a két befogó szerepe felcserélődik.

A három szögfüggvény

Szinuszsin α = szemközti befogóátfogó = ac

Koszinuszcos α = melletti befogóátfogó = bc

Tangenstg α = szemközti befogómelletti befogó = ab

A definíció azért működik, mert az azonos szögű derékszögű háromszögek hasonlók: ha a háromszöget kétszeresére nagyítod, minden oldal kétszereződik, de az arányok változatlanok maradnak. A szögfüggvény tehát a szög „ujjlenyomata”.

Példa: szög kiszámítása két oldalból

Kidolgozott példa · Befogók: a = 3 cm, b = 4 cm

Mekkorák a hegyesszögek?

Két befogó ismert, tehát tangens kell:tg α = ab = 34 = 0,75
Inverz tangenssel (a számológépen tg^-1):α = 36,87°
A másik hegyesszög a 90°-os kiegészítésből:β = 90° − 36,87° = 53,13°
Ellenőrzés az átfogóval (c = 5 cm):sin α = 35 = 0,6 → α = 36,87°

Eredményα = 36,87°, β = 53,13°

Példa: oldal kiszámítása szögből

Kidolgozott példa · Egy 5 m-es létra 65°-os szöget zár be a talajjal

Milyen magasan ér a falhoz, és milyen messze van a talpa a faltól?

A létra az átfogó, a magasság a 65°-os szöggel szemközti befogó:m = 5 · sin 65° = 5 · 0,9063
Vagyis:m = 4,53 m
A faltól mért távolság a szög melletti befogó:d = 5 · cos 65° = 5 · 0,4226 = 2,11 m

EredményA létra 4,53 m magasan ér a falhoz, a talpa 2,11 m-re van tőle.

Nevezetes szögek értékei

Ezt a három sort érdemes fejből tudni – az érettségin és a dolgozatokban ezek a szögek jönnek elő a leggyakrabban:

A nevezetes szögek szögfüggvényei
Szög	sin	cos	tg
30°	12 = 0,5	√32 ~ 0,866	1√3 ~ 0,577
45°	√22 ~ 0,707	√22 ~ 0,707	1
60°	√32 ~ 0,866	12 = 0,5	√3 ~ 1,732

A táblázatban látszik egy szabály: sin 30° = cos 60° és sin 60° = cos 30°. Ez általánosan is igaz: sin α = cos(90° − α), mert a két hegyesszög nézőpontjából ugyanaz az oldal egyszer szemközti, egyszer melletti. A 45°-os sorban ezért egyezik meg a szinusz és a koszinusz.

Ha nem szögre, hanem oldalra van szükséged, a derékszögű háromszög kalkulátor minden esetet lefed két megadott adatból.

Gyors önellenőrzés

Az átfogó 10 cm, a szemközti befogó 6 cm. Mekkora a szög?

sin α = 610 = 0,6, ebből α = 36,87°.

Miért van az, hogy tg 45° = 1?

Mert 45°-os hegyesszögnél a másik hegyesszög is 45°, tehát a háromszög egyenlő szárú: a két befogó egyenlő hosszú, a hányadosuk pedig 1.

Egy 12 m magas fa árnyéka 9 m hosszú. Mekkora szögben esnek a napsugarak?

tg α = 129 = 1,333, ebből α = 53,13°.

Gyakori kérdések

Mi a sin, cos és tg a derékszögű háromszögben?

A kiválasztott hegyesszöghöz képest: sin α = szemköztiátfogó, cos α = mellettiátfogó, tg α = szemköztimelletti. Mindhárom egy-egy oldalhányados, ami csak a szögtől függ.

Honnan tudom, melyik befogó a szemközti?

Nézz ki a kiválasztott szög csúcsából: az az oldal a szemközti, amelyik nem érinti ezt a csúcsot. A másik befogó, amelyik a csúcsból indul, a melletti. Az átfogó mindig a derékszöggel szemközti oldal.

Használhatók-e a szögfüggvények nem derékszögű háromszögben?

Ebben az alakban nem, mert a definícióhoz kell az átfogó. Általános háromszögben a szinusztétel és a koszinusztétel veszi át a szerepüket – vagy húzz be egy magasságot, ami két derékszögű háromszögre bontja az alakzatot.

Mekkora a sin 30° pontos értéke?

Pontosan 0,5. Ez egyben jó teszt arra, hogy a számológéped fokban (DEG) számol-e: ha nem 0,5-öt ír, rossz szögmódban van.

Mikor kell inverz szögfüggvényt használni?

Akkor, amikor oldalakból keresel szöget. Az arányt kiszámolod (például ac), majd a sin^-1, cos^-1 vagy tg^-1 gombbal kapod meg a szöget fokban.