Oldalak kiszámítása
Háromszög oldalainak kiszámítása – képletek
Nincs egyetlen „oldalképlet”. Attól függ, mit tudsz a háromszögről és milyen típusú – ez az oldal az összes esetet egy helyre gyűjti, döntési sorrendben.
Röviden a válasz
Általános háromszögben két képlet fedi le a feladatok döntő többségét. Koszinusztétel, ha két oldal és a közbezárt szög ismert: a2 = b2 + c2 − 2 · b · c · cos α. Szinusztétel, ha egy oldal és két szög ismert: asin α = bsin β.
Speciális háromszögben rövidebb út is van: derékszögűben a Pitagorasz-tétel, egyenlő szárúban a szimmetriatengely, szabályosban pedig egyetlen adatból (oldal, magasság, kerület vagy terület) az összes többi kijön.
Oldalszámoló általános háromszögre
Adj meg három adatot (legalább egy oldallal) – a kalkulátor a szinusz- és koszinusztétellel egészíti ki a háromszöget.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Melyik képlet mikor kell?
A képletválasztás egyetlen kérdésen múlik: mit tudsz a háromszögről. Ez a táblázat a bemenő adatok szerint rendezi a képleteket – keresd meg a saját sorodat.
| Amit ismersz | Képlet | Mire jó |
|---|---|---|
| Két oldal és a közbezárt szög | a = √b2 + c2 − 2 · b · c · cos α | a harmadik oldal, bármilyen háromszögben |
| Egy oldal és két szög | b = a · sin βsin α | a maradék két oldal |
| Három oldal közül kettő, derékszögben | c = √a2 + b2 | az átfogó |
| Átfogó és hegyesszög | a = c · sin α | a befogók |
| Egyenlő szárú: alap és magasság | b = √m2 + (a2)2 | a szár |
| Szabályos: magasság | a = 2 · m√3 | az oldal |
| Terület és a hozzá tartozó magasság | a = 2 · Tma | egy oldal |
Koszinusztétel: a leguniverzálisabb képlet
A koszinusztétel a Pitagorasz-tétel általánosítása. Ha α = 90°, akkor cos α = 0, és a képlet visszaegyszerűsödik a2 = b2 + c2-re. A -2 · b · c · cos α tag tehát pontosan azt méri, mennyivel tér el a háromszög a derékszögűtől.
Kidolgozott példa · b = 11 cm, c = 7 cm, α = 62°
Mekkora a harmadik oldal?
- A közbezárt szög α, tehát a vele szemközti a oldalt kapjuk meg:a2 = 112 + 72 − 2 · 11 · 7 · cos 62°
- A koszinusz értéke:cos 62° = 0,46947
- Behelyettesítve:a2 = 121 + 49 − 154 · 0,46947 = 170 − 72,30 = 97,70
- Gyököt vonunk:a = √97,70 = 9,88 cm
Eredménya = 9,88 cm
Szinusztétel: ha szögek is vannak
Ha egy oldal mellé két szöget kapsz, a szinusztétel arányt ad az oldalak és a velük szemközti szögek szinusza között. A harmadik szög a 180°-os szögösszegből mindig kijön, így valójában két szögből három lesz.
A részletes levezetést és a gyakori hibákat a háromszög oldalainak kiszámítása szögekből oldalon nézd meg – ott a szinusztétel a főszereplő.
Speciális háromszögek rövidebb képletei
Ha a háromszög szabályos, egyenlő szárú vagy derékszögű, kár a nagy tételekkel dolgozni – ezekre saját, sokkal gyorsabb képlet van.
Kidolgozott példa · Szabályos háromszög, m = 9 cm
Mekkora az oldala?
- A szabályos háromszög magassága és oldala között ez az összefüggés áll fenn:m = a · √32
- Az oldalra rendezve:a = 2 · m√3 = 181,7321
- Vagyis:a = 10,39 cm
Eredménya = 10,39 cm
Gyors önellenőrzés
Melyik tétel kell, ha b = 8 cm, c = 6 cm és a köztük lévő α szög ismert?
Egy háromszög területe 60 cm², az egyik magassága 8 cm. Mekkora a hozzá tartozó oldal?
Mi lesz a koszinusztételből, ha α = 90°?
Gyakori kérdések
Mi a háromszög oldalainak kiszámítási képlete?
Általános háromszögben a koszinusztétel (a2 = b2 + c2 − 2 · b · c · cos α) és a szinusztétel (asin α = bsin β). Derékszögűben a Pitagorasz-tétel, szabályosban pedig egyetlen adatból is kijön minden oldal.
Hogyan számolom ki az oldalakat szögekből?
Szögekből önmagukban sehogy: kell legalább egy oldalhossz is. Ha megvan, a szinusztétel adja a többi oldalt, mert az oldalak úgy aránylanak egymáshoz, mint a velük szemközti szögek szinusza.
Milyen képlet kell az általános háromszög oldalához?
Ha két oldal és a köztük lévő szög ismert, koszinusztétel. Ha egy oldal és két szög, szinusztétel. Ha három oldal ismert, nincs mit számolni – abból már csak a szögek, a terület és a magasságok hiányoznak.
Hogyan számolom ki a szabályos háromszög oldalát?
A kerületből a = K3, a magasságból a = 2 · m√3, a területből pedig a = √4 · T√3. Mindhárom képlet ugyanabból az m = a · √32 összefüggésből származik.
Használható a Pitagorasz-tétel bármilyen háromszögre?
Nem, csak derékszögűre. Általános háromszögben a koszinusztétel a megfelelője, amely a -2 · b · c · cos α taggal korrigál. Derékszög esetén ez a tag nulla, és visszakapjuk a Pitagorasz-tételt.