Nevezetes vonalak és pontok
A háromszög nevezetes vonalai és pontjai
Négy vonalfajta, négy nevezetes pont. Itt egy helyen látod, melyik honnan indul, hová érkezik, és mire jó a metszéspontjuk.
Röviden a válasz
A háromszög négy nevezetes vonala a magasságvonal, a súlyvonal, a szögfelező és az oldalfelező merőleges. Mindegyikből három van, és mindhárom egyetlen közös pontban metszi egymást.
A négy metszéspont: a magasságpont (M), a súlypont (S), a beírt kör középpontja (O) és a köré írható kör középpontja (K). Ötödikként szokás a középvonalakat is a nevezetes vonalak közé sorolni.
A négy nevezetes vonal egy táblázatban
| Vonal | Honnan hová | A három metszéspontja | Mire jó |
|---|---|---|---|
| Magasságvonal | csúcsból merőlegesen a szemközti oldal egyenesére | magasságpont (M) | területszámítás |
| Súlyvonal | csúcsból a szemközti oldal felezőpontjába | súlypont (S) | egyensúlyi pont, 2:1 osztás |
| Szögfelező | csúcsból, a szöget két egyenlő részre vágva | beírt kör középpontja (O) | a beírt kör megrajzolása |
| Oldalfelező merőleges | az oldal felezőpontjából merőlegesen | köré írható kör középpontja (K) | a köré írható kör megrajzolása |
A táblázat harmadik oszlopa a lényeg: egyáltalán nem magától értetődő, hogy három egyenes egy pontban metszi egymást. Általában két egyenes metszéspontján a harmadik nem megy át – a háromszögben viszont mind a négy esetben átmegy. Ezért „nevezetesek".
Melyik vonal mit jelent pontosan?
Magasságvonal
A csúcsból merőlegesen érkezik a szemközti oldal egyenesére. Tompaszögű háromszögben ez a talppont kicsúszik az oldalon kívülre, a magasság hossza viszont ettől még ugyanúgy használható a T = a · ma2 képletben. A három magasságvonal metszéspontja hegyesszögű háromszögben belül, derékszögűben a derékszög csúcsában, tompaszögűben kívül van.
Súlyvonal
A csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával köti össze. Jele sa, sb, sc. A három súlyvonal a súlypontban metszi egymást, amely mindegyiket a csúcs felől nézve 2:1 arányban osztja. Részletesen a háromszög súlyvonala oldalon írunk róla.
Szögfelező
A csúcsnál lévő belső szöget két egyenlő szögre osztja. A szögfelező minden pontja egyenlő távol van a szög két szárától – emiatt a három szögfelező metszéspontja mindhárom oldaltól ugyanolyan messze van, tehát köré rajzolható az oldalakat érintő beírt kör.
Oldalfelező merőleges
Nem a csúcsból indul, hanem az oldal felezőpontjából, merőlegesen az oldalra. Minden pontja egyenlő távol van az oldal két végpontjától, ezért a hármuk metszéspontja mindhárom csúcstól egyenlő távolságra van: ez a köré írható kör középpontja.
Példa: mennyire különböznek egymástól?
Sokan azt hiszik, hogy ugyanabból a csúcsból induló magasság, súlyvonal és szögfelező „nagyjából ugyanaz". Nézzük meg számokkal egy egyenlő szárú háromszögben, az egyik alapon fekvő csúcsból.
Kidolgozott példa · a = 10 cm, b = 10 cm, c = 12 cm – mind az A csúcsból
Mekkora az A csúcsból induló magasság, súlyvonal és szögfelező?
- A terület a 12 cm-es oldalhoz tartozó magassággal (√102 − 62 = 8 cm):T = 12 · 82 = 48 cm2
- A magasság az a oldalhoz:ma = 2 · 4810 = 9,6 cm
- A súlyvonal a súlyvonalképlettel:sa = 12 · √2 · 102 + 2 · 122 − 102 = 12 · √388 = 9,85 cm
- A szögfelező hossza (cos α = 0,6, tehát α = 53,13°):fa = 2 · 10 · 12 · cos 26,57°10 + 12 = 9,76 cm
EredményMagasság 9,6 cm < szögfelező 9,76 cm < súlyvonal 9,85 cm – három különböző szakasz.
A nevezetes pontok és a középvonal
| Pont | Miből jön | Hol van |
|---|---|---|
| Súlypont (S) | súlyvonalak | mindig a háromszög belsejében |
| Beírt kör középpontja (O) | szögfelezők | mindig a háromszög belsejében |
| Magasságpont (M) | magasságvonalak | hegyesszögűben belül, derékszögűben a derékszög csúcsában, tompaszögűben kívül |
| Köré írható kör középpontja (K) | oldalfelező merőlegesek | hegyesszögűben belül, derékszögűben az átfogó felezőpontjában, tompaszögűben kívül |
Az ötödik nevezetes vonal a középvonal: két oldal felezőpontját köti össze. Párhuzamos a harmadik oldallal, és pontosan feleakkora. Bővebben a háromszög középvonala oldalon.
Ellenőrizd magad
Gyors önellenőrzés
Melyik nevezetes pont van mindig a háromszög belsejében?
Hol van a derékszögű háromszög magasságpontja?
Melyik vonal indul úgy, hogy nem megy át csúcson?
Egy háromszög egyik oldala 14 cm. Mekkora a hozzá tartozó középvonal?
Gyakori kérdések
Melyek a háromszög nevezetes vonalai?
A magasságvonal, a súlyvonal, a szögfelező és az oldalfelező merőleges – mindegyikből három van. Ötödikként a középvonalakat is ide szokás sorolni, azokból szintén három van.
Melyek a háromszög nevezetes pontjai?
A magasságpont (a magasságvonalak metszéspontja), a súlypont (a súlyvonalaké), a beírt kör középpontja (a szögfelezőké) és a köré írható kör középpontja (az oldalfelező merőlegeseké).
Mi a különbség a súlyvonal és a magasságvonal között?
A súlyvonal a szemközti oldal felezőpontjába megy, a magasságvonal pedig merőlegesen érkezik az oldal egyenesére. Egy 10–10–12 cm-es háromszögben az A csúcsból a magasság 9,6 cm, a súlyvonal 9,85 cm.
Mikor esik egybe a négy nevezetes pont?
Csak szabályos háromszögben. Egyenlő szárúban a négy pont egy egyenesen, a szimmetriatengelyen van, de nem esik egybe.
Hány nevezetes vonala van összesen egy háromszögnek?
Ha a középvonalakat is beleszámolod, 15 darab: négyféle vonalból 3-3, plusz 3 középvonal.