Magasság
Háromszög magasságának kiszámítása
Három út vezet a magassághoz: a terület felől, a Pitagorasz-tétel felől és a szögfüggvények felől. Itt mind a három megvan – és az is, melyiket mikor éri meg választani.
Röviden a válasz
A háromszög magassága az a szakasz, amely egy csúcsból merőlegesen megy a szemközti oldal egyenesére. Ha ismered a területet és azt az oldalt, amelyre a magasság merőleges, akkor m = 2 · Ta.
Ha csak az oldalak ismertek, előbb Héron-képlettel számolj területet, abból már egy osztás a magasság. Derékszögű háromszögben pedig a befogó maga is magasság.
Magasságkalkulátor
Írd be a három oldalt (vagy két oldalt és egy szöget) – mindhárom magasságot megkapod.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mit nevezünk a háromszög magasságának?
A magasság egy csúcsból indul, és merőlegesen érkezik a szemközti oldal egyenesére. Ez az „egyenesére" szó fontos: tompaszögű háromszögben a talppont kicsúszik az oldalon kívülre, és a magasságot az oldal meghosszabbításához mérjük.
Minden háromszögnek három magassága van, mert három csúcsból indulhatunk. Jelölésük az oldalhoz igazodik: ma az a oldalra merőleges, mb a b oldalra, mc a c oldalra. A három magasság egyenese egyetlen pontban metszi egymást – ez a magasságpont.
A magasság képlete – melyiket mikor használd
Nincs egyetlen „magasságképlet". Attól függ, mit tudsz a háromszögről. Ez a négy eset fedi le a feladatok döntő többségét:
A Héron-képletben s a félkerület, vagyis s = a + b + c2. Ez a leghosszabb út, viszont mindig működik: három oldalból bármelyik magasság kijön belőle.
Magasság kiszámítása három oldalból
Ez a leggyakoribb feladattípus. A lépések mindig ugyanazok: félkerület, Héron-terület, majd osztás azzal az oldallal, amelyikhez a magasság tartozik.
Kidolgozott példa · a = 8 cm, b = 7 cm, c = 5 cm
Számítsuk ki az a oldalhoz tartozó magasságot!
- Félkerület:s = 8 + 7 + 52 = 10 cm
- Terület Héron-képlettel:T = √10 · (10-8) · (10-7) · (10-5) = √10 · 2 · 3 · 5 = √300
- Vagyis:T = 17,32 cm2
- Innen a magasság:ma = 2 · 17,328 = 4,33 cm
Eredményma = 4,33 cm
Magasság kiszámítása szögből
Ha van egy oldalad és a hozzá csatlakozó szög, a magasság egy derékszögű részháromszögben azonnal kijön. A csúcsból induló magasság ugyanis kettévágja a háromszöget két derékszögű darabra.
Kidolgozott példa · c = 12 cm, β = 40°
Mekkora az a oldalhoz tartozó magasság?
- A magasság a c oldalból és a β szögből:ma = c · sin β
- Behelyettesítve:ma = 12 · sin 40° = 12 · 0,6428
- Vagyis:ma = 7,71 cm
Eredményma = 7,71 cm
Speciális háromszögek magassága
Néhány háromszögtípusnál nem kell a hosszú úton menni – van rájuk kész képlet.
| Háromszög | Magasság képlete | Megjegyzés |
|---|---|---|
| Szabályos | m = a · √32 | Mindhárom magasság egyenlő, kb. az oldal 0,866-szorosa. |
| Egyenlő szárú (alaphoz) | m = √b2 − (a2)2 | A magasság felezi az alapot, így Pitagorasz-tétel elég. |
| Derékszögű (befogóhoz) | ma = b | A másik befogó maga a magasság. |
| Derékszögű (átfogóhoz) | mc = a · bc | A magasságtételből is levezethető. |
| Általános | ma = 2 · Ta | A terület bármelyik módszerrel jöhet. |
A derékszögű háromszög esete a leggyakoribb buktató: itt két magasság maga a két befogó, és csak a harmadik, az átfogóhoz tartozó magasság igényel számolást. Erről bővebben a derékszögű háromszög magassága oldalon írunk.
Kidolgozott példa · Egyenlő szárú: alap 10 cm, szár 13 cm
Mekkora az alaphoz tartozó magasság?
- A magasság felezi az alapot, így a fél alap 5 cm. A szár, a fél alap és a magasság derékszögű háromszöget alkot:b2 = (a2)2 + m2
- Átrendezve:m = √132 − 52 = √169 − 25 = √144
- Vagyis:m = 12 cm
Eredménym = 12 cm
Melyik magasság melyik oldalhoz tartozik?
Dolgozatban ez viszi el a pontok felét. A szabály egyszerű: az index mindig azt az oldalt jelöli, amelyre a magasság merőleges – nem azt a csúcsot, ahonnan indul. Az ma tehát az a oldalra merőleges, és a vele szemközti A csúcsból indul.
Ebből következik egy hasznos ellenőrzés is: a hosszabb oldalhoz rövidebb magasság tartozik. Ha az a a leghosszabb oldal, akkor ma a legrövidebb magasság. Ha a számolásod ennek ellentmond, valahol elcsúszott egy behelyettesítés.
Gyors önellenőrzés
Egy háromszög területe 24 cm², az egyik oldala 6 cm. Mekkora az ehhez az oldalhoz tartozó magasság?
Lehet-e a magasság hosszabb, mint az az oldal, amelyre merőleges?
Hol van a magasság talppontja tompaszögű háromszögben?
Gyakori kérdések
Mi a háromszög magasságának képlete?
A leggyakrabban használt alak ma = 2 · Ta, ahol T a terület, a pedig az az oldal, amelyre a magasság merőleges. Ha csak az oldalakat ismered, előbb Héron-képlettel számolj területet.
Hány magassága van egy háromszögnek?
Pontosan három, minden csúcsból egy. A három magasság egyenese egy közös pontban, a magasságpontban metszi egymást. Hegyesszögű háromszögben ez a pont belül van, tompaszögűben kívül, derékszögűben pedig épp a derékszög csúcsa.
Hogyan számolom ki a magasságot, ha csak a három oldalt ismerem?
Számolj félkerületet (s = a+b+c2), abból Héron-képlettel területet, majd oszd el a terület kétszeresét azzal az oldallal, amelyikhez a magasság tartozik.
Egyenlő szárú háromszögben hogyan kapom meg a magasságot?
Az alaphoz tartozó magasság felezi az alapot, így Pitagorasz-tétellel adódik: m = √b2 − (a2)2, ahol b a szár, a pedig az alap.
Miért esik kívülre a magasság tompaszögű háromszögben?
Mert a merőleges vetület csak akkor kerül az oldalra, ha a szomszédos szögek hegyesszögek. Tompaszög esetén a csúcsból húzott merőleges az oldal meghosszabbítását metszi – ettől a magasság hossza még ugyanúgy érvényes a területképletben.