Háromszög szerkesztés – a négy alapeset

Számold ki a hiányzó adatokat

Add meg a három ismert adatot (legalább egy oldallal) – a többi oldal és szög kijön, így ellenőrizheted a rajzot.

azonnal számol

Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.

Példa:

a oldal: –
b oldal: –
c oldal: –
Felszín: –
β szög: –
γ szög: –
Terület: –
Kerület: –
m_a magasság: –
m_b magasság: –
m_c magasság: –
Köré írt kör sugara R: –
Beírt kör sugara r: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

A négy alapeset egy táblázatban

Melyik adathármasból mivel kezdd a szerkesztést?
Alapeset	Adatok	Az első lépés
SSS	Három oldal	A leghosszabb oldalt méred fel, a végpontjai köré rajzolod a másik két oldalnyi körívet.
SAS	Két oldal és a közbezárt szög	A szöget másolod fel, a száraira méred a két oldalt.
ASA	Egy oldal és a rajta fekvő két szög	Az oldalt méred fel, a két végpontjában felmásolod a szögeket.
SSA	Két oldal és az egyikkel szemközti szög	A szöget másolod fel, az egyik szárára az egyik oldalt, majd körívet rajzolsz.

SSS – három oldalból

Ez a legegyszerűbb eset, mert csak körző kell hozzá. Mielőtt rajzolnál, ellenőrizd a háromszög-egyenlőtlenséget: a két rövidebb oldal összege legyen nagyobb a leghosszabbnál. Ha ez sérül, a körívek nem metszik egymást – erről a háromszög szerkeszthetősége oldalon olvashatsz bővebben.

ASA – egy oldal és a rajta fekvő két szög

Itt az oldal a biztos pont: felméred, majd a két végpontjában felmásolod a megadott szögeket. A szárak metszéspontja a harmadik csúcs. A feltétel annyi, hogy a két szög összege kisebb legyen 180°-nál.

Kidolgozott példa · c = 8 cm, α = 60°, β = 45°

Szerkeszd meg a háromszöget, és számold ki, mekkorák lesznek az oldalai!

A harmadik szög a szögösszegből:γ = 180° − 60° − 45° = 75°
A szinusztétellel az a oldal:a = c · sin αsin γ = 8 · 0,86600,9659 = 7,17 cm
Ugyanígy a b oldal:b = c · sin βsin γ = 8 · 0,70710,9659 = 5,86 cm
Ellenőrzés a rajzon: a 60°-os szöggel szemközti oldal a hosszabb, a 45°-ossal szemközti a rövidebb.7,17 > 5,86

Eredménya = 7,17 cm, b = 5,86 cm, γ = 75°.

SAS – két oldal és a közbezárt szög

A „közbezárt" szó a lényeg: a szögnek a két megadott oldal között kell lennie. Ilyenkor a szög felmásolása után mindkét oldalt egy-egy szárra méred, a harmadik oldal pedig magától adódik a két végpont összekötésével. Ez az eset mindig pontosan egy megoldást ad.

Kidolgozott példa · b = 6 cm, c = 9 cm, α = 50°

Mekkora lesz a harmadik oldal?

A két oldal az α szöget fogja közre, tehát koszinusztétel:a² = b² + c² − 2 · b · c · cos α
Behelyettesítve:a² = 36 + 81 − 2 · 6 · 9 · 0,6428 = 47,58
Gyököt vonva:a = 6,90 cm

EredményA harmadik oldal 6,90 cm – ennyit kell lemérned a szerkesztés után.

SSA – két oldal és az egyikkel szemközti szög

Ez az egyetlen eset, amelyik nem mindig egyértelmű. Ha a megadott szög a nagyobbik oldallal szemközti, pontosan egy megoldás van. Ha a kisebbikkel szemközti, akkor a körív két pontban is metszheti a szár egyenesét: ilyenkor két, egymással nem egybevágó háromszög is jó megoldás.

Emiatt szerepel az egybevágóság alapeseteinél is a megszorítás, hogy „a nagyobbikkal szemközti szög". A négy alapeset összefüggéseit a háromszögek egybevágóságának alapesetei oldalon is végigveheted.

Gyors önellenőrzés

Melyik alapeset szerint szerkesztesz, ha a = 7 cm, b = 5 cm és a köztük lévő γ szög 40°?

SAS – két oldal és a közbezárt szög. A szöget másolod fel először, a száraira méred a két oldalt.

Miért nem alapeset a „három szög"?

Mert három szögből csak a háromszög alakja adódik, a mérete nem. Végtelen sok, egymáshoz hasonló háromszög felel meg ugyanannak a három szögnek.

Adott a = 9 cm, b = 6 cm és az a-val szemközti α = 70°. Hány megoldás van?

Egy, mert a megadott szög a nagyobbik oldallal (a = 9 cm) szemközti. Ilyenkor a körív csak egy használható pontban metszi a szárat.

Gyakori kérdések

Mi a háromszög szerkesztésének négy alapesete?

Három oldal (SSS); két oldal és a közbezárt szög (SAS); egy oldal és a rajta fekvő két szög (ASA); két oldal és a nagyobbikkal szemközti szög (SSA). Mindegyik három adatból dolgozik.

Hány adat kell egy háromszög megszerkesztéséhez?

Három független adat, amelyek közül legalább egy oldalhossz. Kevesebb adatból végtelen sok háromszög rajzolható.

Melyik alapesetnél lehet két megoldás?

Az SSA esetnél, ha a megadott szög a kisebbik oldallal szemközti. Ilyenkor a körív két pontban metszheti a szög szárát, és két különböző háromszög adódik.

Miért ugyanaz a négy szerkesztési és a négy egybevágósági alapeset?

Mert ha egy adathármasból egyértelműen megszerkeszthető a háromszög, akkor bármely két, ugyanazokkal az adatokkal rendelkező háromszög egybevágó – és fordítva.

Mivel kezdjem a szerkesztést, ha három oldal adott?

A leghosszabb oldal felmérésével. Ezután a két végpontja köré rajzolod a másik két oldal hosszával mint sugárral a köríveket; a metszéspontjuk a harmadik csúcs.

A háromszög szerkesztésének alapesetei