Derékszögű háromszög
Háromszög képletek
Képletgyűjtemény ahhoz, hogy a dolgozat előtt egy oldalon lásd az összeset – és tudd, melyiket mikor kell elővenni.
Röviden a válasz
A háromszög legfontosabb képlete a területre T = a · ma2, a kerületre K = a + b + c. Ha nincs magasságod, három oldalból a Héron-képlet (T = √s(s-a)(s-b)(s-c)), két oldalból és a közbezárt szögből pedig T = a · b · sin γ2 számol területet.
Az oldalak és szögek közötti kapcsolatot három tétel írja le: derékszögű háromszögben a Pitagorasz-tétel, általánosan a szinusztétel és a koszinusztétel. Ez a három lefedi az összes iskolai feladatot.
Számold ki a képletek helyett
Három adat, köztük legalább egy oldal – a képleteket mi alkalmazzuk. Jó ellenőrzésnek a kézi számolás mellé.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Területképletek
Öt területképlet van, és mindegyik más bemenetre való. Az első a legismertebb, de a gyakorlatban ritkán van kész magasságod – ezért érdemes a többit is tudni.
| Amit ismersz | Képlet | Neve |
|---|---|---|
| Alap és magasság | T = a · ma2 | alapképlet |
| Három oldal | T = √s(s-a)(s-b)(s-c) | Héron-képlet |
| Két oldal és a közbezárt szög | T = a · b · sin γ2 | szinuszos területképlet |
| Kerület és a beírt kör sugara | T = s · r | beírt köríves alak |
| Három oldal és a köré írt kör | T = a · b · c4 · R | köré írt köríves alak |
Oldalak és szögek közötti tételek
A három tétel valójában összefügg: a koszinusztétel a Pitagorasz-tétel általánosítása, hiszen cos 90° = 0, és ilyenkor a kivont tag eltűnik. A szinusztétel jobb szélső tagja pedig azt is elárulja, hogy a köré írt kör sugara R = a2 · sin α.
Nevezetes vonalak és körök képletei
| Mennyiség | Általános háromszögben | Derékszögűben |
|---|---|---|
| Magasság | ma = 2 · Ta | mc = a · bc, a befogók maguk is magasságok |
| Kerület | K = a + b + c | K = a + b + c |
| Beírt kör sugara | r = Ts | r = a + b − c2 |
| Köré írt kör sugara | R = a · b · c4 · T | R = c2 (Thalész-tétel) |
| Súlypont | a súlyvonalakat 2:1 arányban osztja | ugyanaz |
Kidolgozott példa: a képletek együtt
Kidolgozott példa · a = 13 cm, b = 14 cm, c = 15 cm
Számold ki a területet, mindkét körsugarat és az a oldalhoz tartozó magasságot!
- Félkerület:s = 13 + 14 + 152 = 422 = 21 cm
- Terület Héron-képlettel:T = √21 · 8 · 7 · 6 = √7056 = 84 cm2
- Beírt kör sugara:r = Ts = 8421 = 4 cm
- Köré írt kör sugara:R = 13 · 14 · 154 · 84 = 2730336 = 8,125 cm
- Magasság az a oldalhoz:ma = 2 · 8413 = 12,92 cm
EredményT = 84 cm², r = 4 cm, R = 8,125 cm, ma = 12,92 cm
Speciális háromszögek képletei
| Háromszög | Magasság | Terület |
|---|---|---|
| Szabályos, oldala a | m = a · √32 | T = a2 · √34 |
| Egyenlő szárú, alap a, szár b | m = √b2 − (a2)2 | T = a · m2 |
| Derékszögű, befogók a és b | a befogók merőlegesek | T = a · b2 |
Egy 6 cm oldalú szabályos háromszög magassága például m = 6 · 1,73212 = 5,20 cm, területe pedig T = 36 · 1,73214 = 15,59 cm².
Ha nem képletet keresel, hanem eredményt, használd a háromszög kalkulátort, derékszögű esetben pedig a derékszögű háromszög kalkulátort.
Gyors önellenőrzés
Melyik területképletet használd, ha az a és b oldal és a köztük lévő γ szög ismert?
Mekkora egy 10 cm oldalú szabályos háromszög területe?
Miért nem használhatod a Pitagorasz-tételt tompaszögű háromszögben?
Gyakori kérdések
Mik a legfontosabb háromszög képletek?
Terület: T = a · ma2, kerület: K = a + b + c, Héron-képlet három oldalból, valamint a három tétel: Pitagorasz-tétel derékszögű háromszögre, szinusz- és koszinusztétel általános háromszögre.
Mi a háromszög terület képlete, ha csak az oldalakat ismerem?
A Héron-képlet: T = √s(s-a)(s-b)(s-c), ahol s = a + b + c2 a félkerület. Például 13, 14, 15 cm oldalaknál s = 21, és T = √7056 = 84 cm².
Milyen képlettel számolok derékszögű háromszög területet?
A két befogó szorzatának a felével: T = a · b2. Külön magasság nem kell, mert a befogók merőlegesek egymásra.
Mikor kell koszinusztételt és mikor szinusztételt használni?
Koszinusztételt akkor, ha három oldalt vagy két oldalt és a közbezárt szöget ismersz. Szinusztételt akkor, ha van egy oldal–szemközti szög párod, és ehhez jön még egy adat.
Mi a szabályos háromszög terület képlete?
T = a2 · √34, a magassága pedig m = a · √32. Mindkettő a Pitagorasz-tételből vezethető le, mert a magasság felezi az alapot.