Derékszögű háromszög
Derékszögű háromszög kalkulátor
Két adat elég. A kalkulátor a Pitagorasz-tételt és a szögfüggvényeket használja – alatta pedig végigvezetünk azon, hogyan jön ki ugyanez papíron is.
Röviden a válasz
A derékszögű háromszögnek öt szabad adata van: az a és b befogó, a c átfogó, valamint az α és β hegyesszög. Ezekből bármelyik kettő meghatározza az egészet – egy kivétellel: a két hegyesszög önmagában nem elég, mert abból csak az alak jön ki, a méret nem.
A kalkulátor pontosan ezt csinálja: oldalakból a Pitagorasz-tétellel (a2 + b2 = c2), oldalból és szögből a szögfüggvényekkel (sin, cos, tg) egészíti ki a hiányzó adatokat, majd kiszámolja a területet, a kerületet, az átfogóhoz tartozó magasságot és a két kör sugarát is.
Derékszögű háromszög kalkulátor
Írj be bármelyik két adatot – a többi nyolcat kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van, tehát c az átfogó.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Milyen adatpárokból lehet számolni?
A kalkulátorba kettő mezőt kell kitöltened. Hogy melyik kettőt, az mindegy – csak az számít, hogy legyen köztük legalább egy oldal. Ez a táblázat mutatja, melyik esetben mi történik a háttérben:
| Amit megadsz | Amit a kalkulátor használ | Példa |
|---|---|---|
| Két befogó (a, b) | Pitagorasz-tétel, majd tg α = a / b | a = 5, b = 12 |
| Átfogó és egy befogó (c, a) | b = √c2 − a2, majd sin α = a / c | c = 13, a = 5 |
| Átfogó és egy szög (c, α) | a = c · sin α, b = c · cos α | c = 20, α = 35° |
| Befogó és egy szög (a, α) | c = a / sin α, b = a / tg α | a = 9, α = 12,68° |
| Két szög (α, β) | Nem elég – nincs méret, csak alak | — |
Átfogó számítása két befogóból
Ez a leggyakoribb eset, és ilyenkor a Pitagorasz-tétel dolgozik. A tétel azt mondja, hogy a két befogó négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével – vagyis az átfogó a két befogóra emelt négyzetek területéből „áll össze”.
Kidolgozott példa · Befogók: a = 5 cm, b = 12 cm
Mekkora az átfogó, a terület és a kerület?
- Pitagorasz-tétel a két befogóra:c2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169
- Gyököt vonunk:c = √169 = 13 cm
- A terület: derékszögűben a két befogó egyben alap és magasság is:T = 5 · 122 = 30 cm2
- A kerület a három oldal összege:K = 5 + 12 + 13 = 30 cm
Eredményc = 13 cm, T = 30 cm², K = 30 cm
Oldalak számítása szögből
Ha nem két oldalad van, hanem egy oldal és egy hegyesszög, akkor a szögfüggvények jönnek. A három alapösszefüggés az α szögre, amelynek a a szemközti és b a melletti befogója:
Kidolgozott példa · Átfogó: c = 20 cm, α = 35°
Mekkora a két befogó és a másik hegyesszög?
- Az α-val szemközti befogó a szinuszból:a = c · sin α = 20 · sin 35° = 20 · 0,5736
- Vagyis:a = 11,47 cm
- Az α melletti befogó a koszinuszból:b = c · cos α = 20 · 0,8192 = 16,38 cm
- A másik hegyesszög a 90°-os kiegészítésből:β = 90° − 35° = 55°
Eredménya = 11,47 cm, b = 16,38 cm, β = 55°
Terület, kerület és a magasság
A derékszögű háromszög területe azért kényelmes, mert a két befogó merőleges egymásra: az egyik az alap, a másik pont a hozzá tartozó magasság. Nem kell külön magasságot keresni.
Az R = c2 képlet a Thalész-tételből jön: a derékszögű háromszög átfogója mindig az átmérője annak a körnek, amelyet a háromszög köré rajzolhatunk. A kör középpontja tehát az átfogó felezőpontja.
Kidolgozott példa · Befogók: a = 9 cm, b = 40 cm
Számold ki az átfogót, a területet, a kerületet és az átfogóhoz tartozó magasságot!
- Átfogó:c = √92 + 402 = √81 + 1600 = √1681 = 41 cm
- Terület:T = 9 · 402 = 180 cm2
- Kerület:K = 9 + 40 + 41 = 90 cm
- Magasság az átfogóhoz – a területet kétféleképp felírva:mc = 9 · 4041 = 8,78 cm
Eredményc = 41 cm, T = 180 cm², K = 90 cm, mc = 8,78 cm
Szögek számítása oldalakból
Fordított irányban is működik: ha két oldal ismert, a hegyesszögek az inverz szögfüggvényekkel jönnek ki. A számológépen ezek a sin-1, cos-1, tg-1 (más gépeken arcsin, arccos, arctg) gombok.
- Nézd meg, melyik két oldal ismert, és ez melyik szögfüggvényt adja ki (szemközti/átfogó → sin, melletti/átfogó → cos, szemközti/melletti → tg).
- Oszd el a két hosszt egymással – ez a szögfüggvény értéke.
- Az inverz függvénnyel kapod meg a szöget fokban.
- A másik hegyesszög: β = 90° − α. Ezt már nem kell újra számolni.
Az 5-12-13 háromszögben például tg α = 512 = 0,4167, amiből α = 22,62°, a másik szög pedig β = 67,38°. Ha csak a szögekre van szükséged, a derékszögű háromszög belső szögeinek kiszámítása oldalon több példát találsz.
Mikor melyik kalkulátort érdemes használni?
Ez az oldal kifejezetten a derékszögű esetre való. Ha a háromszögedben nincs 90°-os szög, más eszköz kell:
Gyors önellenőrzés
Egy derékszögű háromszög befogói 8 cm és 15 cm. Mekkora az átfogó?
Elég-e két adat, ha az egyik az egyik hegyesszög, a másik a másik hegyesszög?
Egy derékszögű háromszög átfogója 26 cm. Mekkora a köré írt kör sugara?
A terület 30 cm², az egyik befogó 5 cm. Mekkora a másik befogó?
Gyakori kérdések
Hány adatot kell megadni a derékszögű háromszög kalkulátorban?
Kettőt, és a kettő közül legalább az egyiknek oldalnak kell lennie. Két befogó, átfogó és befogó, oldal és hegyesszög – mind működik. Két hegyesszögből viszont nem lehet számolni, mert azok összege mindig 90°, így nincs bennük méretinformáció.
Hogyan számolja a kalkulátor az átfogót?
Ha a két befogót adod meg, a Pitagorasz-tétellel: c = √a2 + b2. Ha egy befogó és egy szög ismert, akkor a szögfüggvényből: c = asin α, ahol α az a befogóval szemközti szög.
Mekkora a derékszögű háromszög területe?
A két befogó szorzatának a fele: T = a · b2. Nem kell külön magasságot keresni, mert a befogók merőlegesek egymásra, így az egyik alapként, a másik magasságként működik.
Hogyan kapom meg a szögeket, ha csak az oldalakat ismerem?
Válaszd ki a megfelelő szögfüggvényt, majd használd az inverzét. Például tg α = ab, ebből α = tg-1(ab). A másik hegyesszög ezután már kivonás: β = 90° − α.
Miért ad rossz eredményt a számológépem a szögekre?
Szinte biztosan rossz szögmódban van. Fokban számolj (DEG), ne radiánban (RAD). Ellenőrzésként üsd be a sin 30°-ot: pontosan 0,5-nek kell kijönnie.
Mennyi a derékszögű háromszög beírt körének sugara?
Derékszögű háromszögben egyszerűsödik a képlet: r = a + b − c2, ahol a és b a befogók, c az átfogó. Az 5-12-13 háromszögben például r = 5 + 12 − 132 = 2 cm.