Területszámítás
Háromszög területe – képletek
Nem egy képlet van, hanem nyolc – és mindegyik más bemenő adatot kér. Ez az oldal abban segít, hogy a megadott adatokhoz rögtön a megfelelőt válaszd.
Röviden a válasz
Az alapképlet: T = a · ma2, vagyis egy oldal és a hozzá tartozó magasság szorzatának a fele. Minden további képlet ebből származik, csak más adatokból indul.
A négy legfontosabb: magassággal a · ma2, három oldalból Héron-képlettel, két oldal és a közbezárt szög esetén a · b · sin γ2, szabályos háromszögnél a2 · √34.
Területkalkulátor bármelyik adathármashoz
Adj meg három adatot (legalább egy oldallal) – a kalkulátor kiválasztja a megfelelő képletet.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A képletek adatok szerint
| Amit ismersz | Képlet | Mikor a leggyorsabb |
|---|---|---|
| Egy oldal + a hozzá tartozó magasság | T = a · ma2 | Ha rajz van, vagy a magasság adott – ez a legrövidebb út. |
| Mindhárom oldal | T = √s(s-a)(s-b)(s-c) | Héron-képlet, s a félkerület. Szög nélküli feladatokra. |
| Két oldal + a közbezárt szög | T = a · b · sin γ2 | Trigonometriás feladatokban, érettségin gyakori. |
| Két befogó (derékszögű) | T = a · b2 | Nem kell magasságot keresni: a befogók merőlegesek. |
| Egyetlen oldal (szabályos) | T = a2 · √34 | Egyenlő oldalú háromszögnél. |
| Alap + szár (egyenlő szárú) | T = a4 · √4b2 − a2 | Ha a magasságot nem akarod külön kiszámolni. |
| Három oldal + a köré írt kör sugara | T = a · b · c4 · R | Ha a feladat a körülírt körről is szól. |
| Félkerület + a beírt kör sugara | T = r · s | Beírt körös feladatokban, illetve r meghatározásához. |
Miért a fele? – az alapképlet magyarázata
Tükrözd a háromszöget az egyik oldala felezőpontjára: pontosan egy paralelogramma jön ki belőle, két egybevágó háromszögből. A paralelogramma területe alap szor magasság, tehát a háromszögé ennek a fele. Innen a kettes a nevezőben.
Kidolgozott példa: két oldal és a közbezárt szög
Ez a képlet azért működik, mert a b · sin γ szorzat éppen az a oldalhoz tartozó magasság. Vagyis nem új képlet, csak az alapképlet szögfüggvényes álruhában.
Kidolgozott példa · a = 10 cm, b = 8 cm, γ = 30°
Mekkora a háromszög területe?
- A szinuszos területképlet:T = a · b · sin γ2
- Behelyettesítés (sin 30° = 0,5):T = 10 · 8 · 0,52 = 402
- Vagyis:T = 20 cm2
- Ellenőrzés magassággal: az a-hoz tartozó magasságma = b · sin γ = 8 · 0,5 = 4 cm → T = 10 · 42 = 20 cm2
EredményT = 20 cm²
A ritkábban tanult, de hasznos alakok
A T = r · s alak azért hasznos, mert átrendezve a beírt kör sugarát adja: r = Ts. Hasonlóan az első képletből R = a · b · c4 · T, ami a háromszög köré írt kör sugarának kiszámítása feladatokban a leggyorsabb út.
Összefoglaló: melyiket válaszd?
Három kérdés, és megvan a képlet
- Van magasság az adatok között?Ha igen, használd az alapképletet – tovább nem kell keresni.
- Van szög két oldal között?Akkor a szinuszos alak a leggyorsabb. Ha a szög nem a két oldal között van, előbb szinusztétel kell.
- Csak oldalak vannak?Héron-képlet, vagy – ha a háromszög szabályos, egyenlő szárú, derékszögű – a típusra szabott rövid képlet.
A típusonkénti részletes levezetéseket külön oldalakon találod: terület három oldalból, szabályos háromszög területe, háromszög területe sin-nel. Az általános háromszög-képletgyűjtemény pedig a háromszög képletek oldalon van.
Gyors önellenőrzés
Melyik képletet használd, ha az oldalak 7, 8 és 9 cm?
Egy háromszög két oldala 6 és 9 cm, a köztük lévő szög 90°. Melyik képlet a leggyorsabb?
Ismered a területet (84 cm²) és a félkerületet (21 cm). Mekkora a beírt kör sugara?
Gyakori kérdések
Mi a háromszög területének alapképlete?
T = a · ma2: egy oldal és a hozzá tartozó magasság szorzatának a fele. Mindhárom oldalpárra igaz, tehát azt válaszd, amelyikhez ismered a magasságot.
Hány területképlet van a háromszögre?
A középiskolai anyagban nyolc gyakori alak szerepel: alap-magasság, Héron, szinuszos, derékszögű, szabályos, egyenlő szárú, körülírt körös és beírt körös. Mindegyik ugyanazt az értéket adja, csak más adatokból indul.
Melyik területképletet kell tudni érettségire?
A négyjegyű függvénytáblázat tartalmazza a Héron-képletet és a szinuszos alakot, de az alapképletet (a · ma2) és a derékszögű esetet fejből érdemes tudni, mert azokat használod a leggyakrabban.
Miért osztunk kettővel a területképletben?
Mert két egybevágó háromszögből paralelogramma rakható össze, amelynek területe alap szor magasság. A háromszög ennek pontosan a fele.
Hogyan számolok területet, ha koordinátákkal adott a háromszög?
Használd a T = |x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2)|2 képletet. Az abszolút érték azért kell, mert a körüljárás iránya negatív értéket is adhat.