Háromszög magassága képlet – az összes, levezetéssel

Q: Mi a háromszög magasságának képlete?

Általánosan ma = (2 · T)/(a): a terület kétszerese osztva azzal az oldallal, amelyre a magasság merőleges. Ebből származik az összes többi alak.

Q: Mi a szabályos háromszög magasságának képlete?

m = (a · √(3))/(2), ami körülbelül az oldal 0,866-szorosa. Ez a Pitagorasz-tételből jön, mert a magasság felezi az alapot.

Q: Van-e képlet, ami csak az oldalakból ad magasságot?

Igen, a Héron-képlettel kombinált alak: ma = (2)/(a) · √(s(s-a)(s-b)(s-c)). Ehhez semmilyen szöget nem kell ismerned.

Q: Mit jelöl az m alsó indexe?

Azt az oldalt, amelyre a magasság merőleges. Az mc tehát a c oldalra merőleges, és a C csúcsból indul.

Próbáld ki a képleteket

Írj be három oldalt, és nézd meg, mit ad a Héron-féle út mindhárom magasságra.

azonnal számol

Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.

Példa:

a oldal: –
b oldal: –
c oldal: –
Felszín: –
β szög: –
γ szög: –
Terület: –
Kerület: –
m_a magasság: –
m_b magasság: –
m_c magasság: –
Köré írt kör sugara R: –
Beírt kör sugara r: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

Az alapképlet és a levezetése

A háromszög területe az oldal és a hozzá tartozó magasság szorzatának a fele – ez a kiindulópont. Ha ezt az egyenletet a magasságra rendezed, megkapod az alapképletet:

A területképletT = a · m_a2

Kettővel szorozva2 · T = a · m_a

Az oldallal osztvam_a = 2 · Ta

Az összes magasságképlet egy táblázatban

Magasságképletek és a levezetésük
Képlet	Mikor használható	Honnan jön
m_a = 2 · Ta	Terület és oldal ismert	A területképlet átrendezése.
m_a = 2a · √s(s-a)(s-b)(s-c)	Mindhárom oldal ismert	Az alapképletbe a Héron-féle területet írjuk.
m_a = b · sin γ	Oldal és csatlakozó szög ismert	A magasság a b oldal merőleges vetülete – a szinusz definíciója.
m_c = a · bc	Derékszögű, az átfogóhoz	A terület kétféle felírásának egyenlővé tétele.
m = √b² − (a2)²	Egyenlő szárú, az alaphoz	Pitagorasz-tétel a félháromszögben.
m = a · √32	Szabályos háromszög	Az előző képlet b = a esettel.

Példa az alapképletre

Kidolgozott példa · T = 36 cm², a = 9 cm

Mekkora az a oldalhoz tartozó magasság?

Az alapképlet:m_a = 2 · Ta
Behelyettesítve:m_a = 2 · 369 = 729
Vagyis:m_a = 8 cm

Eredménym_a = 8 cm

A szabályos háromszög képletének levezetése

A szabályos háromszög magassága felezi az alapot, tehát a fél alap a2, az átfogó pedig maga az a oldal. Pitagorasz-tétellel:

A félháromszögbenm² = a² − (a2)² = a² − a²4

Közös nevezőre hozvam² = 3 · a²4

Gyököt vonvam = a · √32

Kidolgozott példa · Szabályos háromszög, a = 8 cm

Mekkora a magassága?

A szabályos háromszög képlete:m = 8 · √32 = 4 · √3
Számértékkel:m = 4 · 1,732 = 6,93 cm

Eredménym = 6,93 cm

Gyors önellenőrzés

Melyik képlet kell, ha csak a három oldalt ismered?

A Héron-féle: m_a = 2a · √s(s-a)(s-b)(s-c), ahol s a félkerület.

Mit jelent az m_b jelölés?

A b oldalra merőleges magasságot, amely a B csúcsból indul – az index mindig a merőleges oldalt jelöli.

Egy szabályos háromszög magassága 6,93 cm. Mekkora az oldala?

A képletet átrendezve a = 2 · m√3 = 13,861,732 = 8 cm.

Gyakori kérdések

Mi a háromszög magasságának képlete?

Általánosan m_a = 2 · Ta: a terület kétszerese osztva azzal az oldallal, amelyre a magasság merőleges. Ebből származik az összes többi alak.

Mi a szabályos háromszög magasságának képlete?

m = a · √32, ami körülbelül az oldal 0,866-szorosa. Ez a Pitagorasz-tételből jön, mert a magasság felezi az alapot.

Van-e képlet, ami csak az oldalakból ad magasságot?

Igen, a Héron-képlettel kombinált alak: m_a = 2a · √s(s-a)(s-b)(s-c). Ehhez semmilyen szöget nem kell ismerned.

Mit jelöl az m alsó indexe?

Azt az oldalt, amelyre a magasság merőleges. Az m_c tehát a c oldalra merőleges, és a C csúcsból indul.

Melyik képletet használjam derékszögű háromszögnél?

A befogókhoz nem kell képlet, mert azok egymás magasságai. Az átfogóhoz tartozó magasságra m_c = a · bc a leggyorsabb alak.

Háromszög magassága – képlet