Magasság
Szabályos háromszög magassága
Egyetlen adat elég: az oldalból a magasság, a magasságból az oldal, a kerületből vagy a területből pedig mindkettő megkapható – mind ugyanabból a gyök 3-ból jön.
Röviden a válasz
A szabályos (egyenlő oldalú) háromszög magassága m = a · √32, vagyis az oldal körülbelül 0,866-szorosa. Egy 12 cm oldalú szabályos háromszög magassága 6 √3 ≈ 10,39 cm.
Mindhárom magassága ugyanakkora, és mindegyik egyben súlyvonal, szögfelező és szimmetriatengely is. Visszafelé: a = 2 · m√3.
Szabályos háromszög kalkulátor
Írd be az oldalt, a magasságot, a kerületet vagy a területet – a többi adat magától kijön.
Egyetlen adatból az összes többi következik – minden szöge 60°.
- a oldal
- –
- ma magasság
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Honnan jön a gyök 3?
A szabályos háromszögben minden oldal egyenlő és minden szög 60°. Ha behúzod az egyik magasságot, az felezi a szemközti oldalt, és két egybevágó derékszögű háromszöget kapsz. Ennek befogói a fél oldal és a magasság, átfogója pedig a teljes oldal.
Írd fel erre a derékszögű háromszögre a Pitagorasz-tételt: a2 = (a2)2 + m2. Innen m2 = a2 − a24 = 3 a24, és gyökvonás után adódik a képlet.
Kidolgozott példa · a = 12 cm
Mekkora a magasság és a terület?
- A fél oldal 6 cm, ez a derékszögű részháromszög egyik befogója:122 = 62 + m2
- Átrendezve:m2 = 144 − 36 = 108
- Gyököt vonva (ugyanez jön ki a képletből is):m = √108 = 6 · √3 = 10,39 cm
- A terület a megszokott módon:T = 12 · 10,392 = 62,35 cm2
Eredménym = 10,39 cm, T = 62,35 cm²
Oldal számolása a magasságból
A képlet visszafelé is működik. Rendezd át m = a · √32 alakot az a-ra:
Kidolgozott példa · m = 15 cm
Mekkora az oldal és a kerület?
- Fejezzük ki az oldalt:a = 2 · 15√3 = 301,7321
- Az osztás elvégezve:a = 17,32 cm
- A kerület az oldal háromszorosa:K = 3 · 17,32 = 51,96 cm
Eredménya = 17,32 cm, K = 51,96 cm
Ha a kerületet adják meg, előbb oszd hárommal: 30 cm kerületnél az oldal 10 cm, tehát a magasság 10 · 0,866 = 8,66 cm.
Oldal és magasság gyorstáblázat
| Oldal (a) | Magasság (m) | Terület (T) |
|---|---|---|
| 2 cm | 1,73 cm | 1,73 cm² |
| 4 cm | 3,46 cm | 6,93 cm² |
| 6 cm | 5,20 cm | 15,59 cm² |
| 8 cm | 6,93 cm | 27,71 cm² |
| 10 cm | 8,66 cm | 43,30 cm² |
| 20 cm | 17,32 cm | 173,21 cm² |
A táblázatból is látszik, hogy az oldal kétszerezésekor a magasság is kétszereződik, a terület viszont négyszereződik – a terület ugyanis T = a2 · √34 szerint négyzetesen nő.
A 30°–60°–90°-os háromszög aránypárja
A magasság behúzásával kapott derékszögű háromszög szögei 30°, 60° és 90°, oldalai pedig mindig ugyanabban az arányban állnak: 1 : √3 : 2. Ezt érdemes megjegyezni, mert érettségin sok feladat épp ezen múlik.
- A 30°-os szöggel szemközti befogó a legrövidebb: az oldal fele.
- A 60°-os szöggel szemközti befogó maga a magasság: a fél oldal √3-szorosa.
- Az átfogó a háromszög oldala, a legrövidebb befogó kétszerese.
Gyors önellenőrzés
Mekkora a 18 cm oldalú szabályos háromszög magassága?
Egy szabályos háromszög magassága 6 cm. Mekkora a beírt körének sugara?
Igaz-e, hogy a szabályos háromszög magassága nagyobb, mint az oldal fele?
Gyakori kérdések
Mi a szabályos háromszög magasságának képlete?
m = a · √32, ahol a az oldal hossza. Számokban ez az oldal 0,866-szorosa, tehát 10 cm-es oldalhoz 8,66 cm magasság tartozik.
Hogyan számolom ki az oldalt a magasságból?
Az átrendezett képlettel: a = 2 · m√3 ≈ 1,155 · m. Például 15 cm magassághoz 17,32 cm-es oldal tartozik.
Miért egyenlő a szabályos háromszög mindhárom magassága?
Mert mindhárom oldala egyenlő, és a terület ugyanaz bármelyik oldalról nézve. A m = 2 · Ta képletben így mindhárom esetben ugyanaz a szám áll a nevezőben.
Mekkora a szabályos háromszög területe a magasságából?
Kifejezheted az oldalt (a = 2 · m√3), és beírhatod a T = a · m2 képletbe. Egy lépésben: T = m2 · √33, tehát 6 cm-es magassághoz 20,78 cm² tartozik.
Ugyanaz a szabályos és az egyenlő oldalú háromszög?
Igen, a két elnevezés ugyanazt jelenti: minden oldala egyenlő, és minden szöge 60°. Egyben egyenlő szárú is, csak nála bármelyik oldal választható alapnak.