Magasság
Háromszög magassága számítás
A kérdés sosem az, hogy „mi a magasság képlete”, hanem az, hogy mit tudsz a háromszögről. Ez az oldal a bemenő adatok felől rendezi a számítást.
Röviden a válasz
A háromszög magasságának számítása mindig ugyanabból az egyetlen összefüggésből indul: T = a · ma2. Ezt átrendezve ma = 2 · Ta – vagyis ha a területet és a hozzá tartozó oldalt ismered, egy osztás az egész.
Ha nincs terület, akkor a rendelkezésre álló adatokból csinálsz egyet: három oldalból Héron-képlettel, két oldalból és a közbezárt szögből szinusszal, derékszögűben pedig a két befogó szorzatából.
Magasság számítás – írd be, amit tudsz
Három adat kell, amiből legalább egy oldal. Mindhárom magasságot kiszámoljuk.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Melyik adatból melyik képlet
Mielőtt bármit behelyettesítenél, nézd meg, mi van a feladatban. Ez a táblázat a leggyakoribb öt esetet fedi le – gyakorlatilag minden iskolai feladat valamelyikbe beleesik.
| Amit tudsz | Amit használsz | A képlet |
|---|---|---|
| Terület és egy oldal | Területképlet átrendezve | ma = 2 · Ta |
| Mindhárom oldal | Héron-képlet, majd osztás | ma = 2a · √s(s-a)(s-b)(s-c) |
| Két oldal és a közbezárt szög | Szinusz definíciója | ma = b · sin γ |
| Derékszögű, két befogó | A befogók szorzata / átfogó | mc = a · bc |
| Egyenlő szárú: alap és szár | Pitagorasz-tétel a fél alapra | m = √b2 − (a2)2 |
Számítás három oldalból
Ez a leggyakoribb dolgozatfeladat. Három lépés: félkerület, Héron-terület, osztás. Figyelj arra, hogy a végén azzal az oldallal oszd el a terület kétszeresét, amelyikhez a magasság tartozik.
Kidolgozott példa · a = 14 cm, b = 13 cm, c = 15 cm
Mekkora mindhárom magasság?
- Félkerület:s = 14 + 13 + 152 = 21 cm
- Terület Héron-képlettel:T = √21 · 7 · 8 · 6 = √7056 = 84 cm2
- A 14 cm-es oldalhoz:ma = 2 · 8414 = 12 cm
- A 13 cm-es oldalhoz:mb = 2 · 8413 = 12,92 cm
- A 15 cm-es oldalhoz:mc = 2 · 8415 = 11,2 cm
Eredményma = 12 cm, mb = 12,92 cm, mc = 11,2 cm
Derékszögű háromszög magassága számítás
Derékszögűben a két befogó maga is magasság: az a befogó merőleges a b-re, tehát mb = a és ma = b. Külön számolást csak az átfogóhoz tartozó magasság igényel, és arra is van kész képlet.
Kidolgozott példa · Befogók: 9 cm és 12 cm
Mekkora az átfogóhoz tartozó magasság?
- Előbb az átfogó Pitagorasz-tétellel:c = √92 + 122 = √225 = 15 cm
- A terület a két befogóból:T = 9 · 122 = 54 cm2
- A magasság az átfogóhoz:mc = 2 · 5415 = 10815 = 7,2 cm
Eredménymc = 7,2 cm
A részleteket – a magasságtételt, az átfogó szeleteit – a derékszögű háromszög magassága oldalon nézheted meg.
Magasság és a négyzetméter-számítás
Gyakorlati feladatokban általában fordítva jön a kérdés: adott a terület négyzetméterben, és a magasság a keresett méret. A képlet ugyanaz, csak arra figyelj, hogy azonos mértékegységben legyen minden adat.
Kidolgozott példa · Háromszög alakú terület: 6 m², az alap 4 m
Milyen magas a háromszög, ha az alapja 4 méter?
- A területképletből indulunk:T = a · m2
- Átrendezve a magasságra:m = 2 · Ta = 2 · 64
- Vagyis:m = 3 m
Eredménym = 3 m
Számítás egy oldalból és egy szögből
Ha a magasság talppontja felé nézel, a háromszög két derékszögű darabra esik szét. Ezért elég egy oldal és egy hozzá csatlakozó szög: a magasság az oldal merőleges vetülete.
Egy gyors példa: ha b = 11 cm és a C csúcsnál lévő szög 50°, akkor ma = 11 · sin 50° = 11 · 0,766 = 8,43 cm. Egyetlen szorzás, nem kell se félkerület, se gyökvonás – ezért érdemes mindig megnézni, hátha van használható szög a feladatban.
Ugyanez a gondolat adja a T = a · b · sin γ2 területképletet is – a b · sin γ szorzat épp az a oldalhoz tartozó magasság. Ha az oldalak és szögek együtt kellenek, kezdd a háromszög hiányzó adatainak kiszámítása oldalon.
Mit ellenőrizz a végén?
- A magasság mértékegysége hossz (cm, m), nem terület. Ha cm²-t írtál, elszámoltál.
- A magasság sosem lehet hosszabb a hozzá csatlakozó két oldalnál – befogója annak a derékszögű részháromszögnek.
- Hegyesszögű háromszögben mindhárom talppont az oldalon belül van; ha tompaszögű, kettő kicsúszik az oldal meghosszabbítására.
- Az index a merőleges oldalt jelöli, nem a csúcsot: ma az a oldalra merőleges.
Gyors önellenőrzés
Egy háromszög területe 30 cm², az egyik oldala 10 cm. Mekkora az ehhez tartozó magasság?
Egy derékszögű háromszög befogói 9 cm és 12 cm. Mekkora a 9 cm-es oldalhoz tartozó magasság?
Egy háromszög két magassága 8 cm és 6 cm. Melyik oldal a hosszabb?
Gyakori kérdések
Hogyan számolom ki a háromszög magasságát?
A területből: ma = 2 · Ta. Ha a terület nincs megadva, előbb azt számold ki – három oldalból Héron-képlettel, két oldalból és a közbezárt szögből T = a · b · sin γ2 alakban.
Derékszögű háromszög magassága számítás: mi a képlet?
Az átfogóhoz tartozó magasság mc = a · bc, ahol a és b a befogók, c az átfogó. A befogókhoz tartozó magasságok maguk a befogók, azokat nem kell számolni.
Mit jelent a háromszög m² számítása?
A négyzetméter a terület mértékegysége, tehát a T = a · m2 képlet a kérdés. Ha a magasság a keresett adat, rendezd át: m = 2 · Ta. Ügyelj arra, hogy 1 m² = 10 000 cm².
Elég-e a három oldal a magasság kiszámításához?
Igen, a három oldal egyértelműen meghatározza a háromszöget, így mindhárom magasságát is. Héron-képlettel számolj területet, majd oszd el a terület kétszeresét a megfelelő oldallal.
Melyik magasság tartozik a leghosszabb oldalhoz?
A legrövidebb. Mivel minden oldal–magasság szorzat ugyanazt a 2T értéket adja, a hosszabb oldalhoz szükségképpen rövidebb magasság tartozik.