Háromszög oldalainak kiszámítása szögekből – szinusztétel

Oldalszámoló szögekből

Adj meg két szöget és egy oldalt – a hiányzó két oldalt a szinusztétellel kiszámoljuk.

azonnal számol

Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.

Példa:

a oldal: –
b oldal: –
c oldal: –
Felszín: –
β szög: –
γ szög: –
Terület: –
Kerület: –
m_a magasság: –
m_b magasság: –
m_c magasság: –
Köré írt kör sugara R: –
Beírt kör sugara r: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

Miért nem elég a három szög?

Rajzolj egy 60°–70°–50°-os háromszöget, majd nagyítsd fel a duplájára. A szögek nem változtak, az oldalak viszont kétszeresek lettek. A két háromszög hasonló: alakra azonos, méretre nem. Ezért nincs olyan képlet, amely három szögből oldalhosszakat adna.

Ugyanaz a három szög…

…kétszeres méretben. A szögek ugyanazok, az oldalak nem.

A szinusztétel: két szög és egy oldal

A szinusztétel azt mondja ki, hogy minden oldal és a vele szemközti szög szinuszának hányadosa ugyanaz a szám a háromszögben. Ez a közös érték egyébként a köré írt kör átmérője.

Szinusztételasin α = bsin β = csin γKét törtet választasz belőle: az egyikben minden ismert, a másikban a keresett oldal az egyetlen ismeretlen.

A számolás menete

Számold ki a hiányzó harmadik szöget: γ = 180° − α − β.
Párosítsd össze az ismert oldalt a vele szemközti szöggel – ez lesz a viszonyítási arány.
Írd fel az arányt a keresett oldalra, és rendezd át szorzásra: b = a · sin βsin α.
Ellenőrizd: a nagyobb szöggel szemben hosszabb oldal áll.

Kidolgozott példa · a = 12 cm, α = 48°, β = 67°

Mekkora a másik két oldal?

A harmadik szög a szögösszegből:γ = 180° − 48° − 67° = 65°
A viszonyítási arány az ismert oldal-szög párból:asin α = 120,74314 = 16,148
A b oldal a β szöggel szemközt:b = 16,148 · sin 67° = 16,148 · 0,92050 = 14,86 cm
A c oldal a γ szöggel szemközt:c = 16,148 · sin 65° = 16,148 · 0,90631 = 14,63 cm

Eredményb = 14,86 cm, c = 14,63 cm

Ha az oldal a két szög között van

Gyakori feladattípus, amikor az ismert oldal éppen a két megadott szög közé esik. Ilyenkor egyik ismert szög sem áll szemben az ismert oldallal – ezért az első lépés kötelezően a harmadik szög kiszámítása.

Kidolgozott példa · c = 15 cm, α = 42°, β = 71°

Mekkora az a és a b oldal?

A c oldallal szemközti szög hiányzik, pótoljuk:γ = 180° − 42° − 71° = 67°
Most már van teljes pár, felírjuk az arányt:csin γ = 150,92050 = 16,296
Az a oldal:a = 16,296 · sin 42° = 16,296 · 0,66913 = 10,90 cm
A b oldal:b = 16,296 · sin 71° = 16,296 · 0,94552 = 15,41 cm

Eredménya = 10,90 cm, b = 15,41 cm

Derékszögű és szabályos eset

Derékszögű háromszögben nem kell a szinusztétel: ha egy oldal és egy hegyesszög ismert, a sin, cos, tg közvetlenül ad oldalt – erről a derékszögű háromszög oldalainak kiszámítása oldalon van részletes útmutató. Szabályos háromszögben pedig a szögek mind 60°-osak, tehát a szögekből semmi új nem derül ki: ott egyetlen oldal vagy a kerület kell.

Ha nem szögeid vannak, hanem két oldal és a közbezárt szög, akkor a koszinusztétel a megfelelő eszköz – az összes képletet a háromszög oldalainak kiszámítása képlet oldalon gyűjtöttük össze.

Gyors önellenőrzés

Egy háromszög szögei 40°, 60° és 80°. Mekkorák az oldalai?

Nem meghatározható. A három szögből csak az oldalak aránya következik, a méret nem – kell legalább egy oldalhossz.

Egy háromszögben a = 10 cm, α = 30°, β = 90°. Mekkora a b oldal?

b = 10 · sin 90°sin 30° = 10 · 10,5 = 20 cm. A 30°-os szöggel szemközti befogó tehát az átfogó fele.

Melyik oldal a leghosszabb abban a háromszögben, amelynek szögei 55°, 65° és 60°?

A 65°-os szöggel szemközti oldal, mert nagyobb szöggel szemben hosszabb oldal áll.

Gyakori kérdések

Hogyan számolom ki a háromszög oldalait szögekből?

Szükséged van legalább egy oldalhosszra is. Ha megvan, a szinusztétellel dolgozz: b = a · sin βsin α, ahol α az a, β pedig a b oldallal szemközti szög. A harmadik szöget a 180°-os szögösszegből pótold.

Ki lehet számolni az oldalakat, ha csak a szögeket tudom?

Nem. A szögek csak a háromszög alakját rögzítik. Ugyanazokkal a szögekkel végtelen sok, egymáshoz hasonló háromszög rajzolható, amelyek mérete tetszőleges.

Mikor kell szinusztétel és mikor koszinusztétel?

Szinusztétel akkor, ha van egy oldal-szög szemközti párod (egy oldal és két szög esetén mindig van). Koszinusztétel akkor, ha két oldal és a közbezárt szög ismert, vagy ha három oldalból keresel szöget.

Hogyan számolom ki a derékszögű háromszög oldalait a szögekből?

Egy oldal és egy hegyesszög elég: a = c · sin α, b = c · cos α, illetve a = b · tg α. A másik hegyesszög β = 90° − α, tehát azt nem kell külön megadni.

Miért igaz, hogy nagyobb szöggel szemben hosszabb oldal áll?

A szinusztétel szerint az oldal a szemközti szög szinuszával arányos, és a szinusz 0° és 90° között növekszik. Ez a rendezés jó gyors ellenőrzés is: a szögek és az oldalak sorrendjének egyeznie kell.