Háromszög oldalainak kiszámítása fokokból

Oldalak kiszámítása szögekből

Adj meg egy oldalt és két szöget (vagy két oldalt és egy szöget) – a hiányzó oldalakat kiszámoljuk.

azonnal számol

Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.

Példa:

a oldal: –
b oldal: –
c oldal: –
Felszín: –
β szög: –
γ szög: –
Terület: –
Kerület: –
m_a magasság: –
m_b magasság: –
m_c magasság: –
Köré írt kör sugara R: –
Beírt kör sugara r: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

Miért nem elég önmagában a három szög?

Mert a szögek csak az alakot rögzítik. Egy 40°–60°–80° szögű háromszög lehet gyufásdoboz méretű vagy focipálya nagyságú is – a szögek ugyanazok maradnak. Két ilyen háromszög hasonló egymáshoz, az oldalaik pedig azonos arányban nagyobbak vagy kisebbek.

Az arány a szinusztételből olvasható ki. Egy 40°–60°–80° háromszögben például sin 40° = 0,6428, sin 60° = 0,866 és sin 80° = 0,9848, tehát az oldalak aránya 0,6428 : 0,866 : 0,9848, ami leosztva kb. 1 : 1,35 : 1,53.

Egy oldal és két szög: szinusztétel

Ez a leggyakoribb eset. Ha két szöget ismersz, a harmadik azonnal megvan (α + β + γ = 180°), utána pedig minden hiányzó oldal egyetlen szorzással kijön.

Szinusztételasin α = bsin β = csin γÁtrendezve: b = a · sin βsin α – vagyis az ismert oldalt szorzod a két szög szinuszának hányadosával.

Kidolgozott példa · a = 12 cm, α = 40°, β = 60°

Mekkora a másik két oldal?

A harmadik szög a szögösszegből:γ = 180° − 40° − 60° = 80°
A b oldal a szinusztételből:b = 12 · sin 60°sin 40° = 12 · 0,8660,6428
Vagyis:b = 16,17 cm
Ugyanígy a c oldal:c = 12 · sin 80°sin 40° = 12 · 0,98480,6428
Vagyis:c = 18,39 cm

Eredményb = 16,17 cm és c = 18,39 cm

Két oldal és a közbezárt szög: koszinusztétel

Ha a szög a két ismert oldal között van, a szinusztétel nem indul el, mert egyetlen oldal-szög párod sincs. Ilyenkor a koszinusztétel a megoldás.

Koszinusztételc² = a² + b² − 2 · a · b · cos γA Pitagorasz-tétel általánosítása: ha γ = 90°, akkor cos γ = 0, és visszakapjuk a c² = a² + b² alakot.

Kidolgozott példa · a = 5 cm, b = 8 cm, a közbezárt szög γ = 60°

Mekkora a harmadik oldal?

Behelyettesítés a koszinusztételbe:c² = 5² + 8² − 2 · 5 · 8 · cos 60°
A cos 60° = 0,5, ezért:c² = 25 + 64 − 80 · 0,5 = 89 − 40 = 49
Gyököt vonva:c = 7 cm

Eredményc = 7 cm

Nevezetes szögek: számológép nélkül is megy

Oldalarányok gyakori szöghármasoknál
Szögek	Az oldalak aránya	Megjegyzés
60°–60°–60°	1 : 1 : 1	szabályos háromszög, minden oldal egyenlő
30°–60°–90°	1 : √3 : 2	a szabályos háromszög fele
45°–45°–90°	1 : 1 : √2	egyenlő szárú derékszögű háromszög
40°–60°–80°	1 : 1,35 : 1,53	általános eset, szinusztételből

A táblázat első három sorát érdemes megjegyezni, mert érettségin gyakran ezekkel dolgozol. Ha például egy 30°–60°–90° háromszög legrövidebb oldala 7 cm, akkor a másik kettő 7 · √3 = 12,12 cm és 14 cm.

A derékszögű esetre külön, egyszerűbb út is van a szögfüggvényekkel – ezt a derékszögű háromszög oldalainak kiszámítása oldal írja le. A szinusztétel részletes tárgyalása pedig a háromszög oldalainak kiszámítása szögekből oldalon van.

Gyors önellenőrzés

Kiszámítható-e egy háromszög oldala, ha csak azt tudjuk, hogy a szögei 50°, 60° és 70°?

Nem, csak az oldalak aránya. Méret meghatározásához legalább egy hosszúságadat kell.

Egy háromszögben a = 9 cm, α = 30°, β = 90°. Mekkora a b oldal?

b = 9 · sin 90°sin 30° = 9 · 10,5 = 18 cm.

Melyik tételt használd, ha két oldal és a köztük lévő szög adott?

A koszinusztételt, mert így nincs olyan oldal-szög párod, amelyik szemközti lenne egymással.

Gyakori kérdések

Ki lehet-e számolni a háromszög oldalait csak a szögekből?

Nem. A három szög csak a háromszög alakját határozza meg, a méretét nem – a szögekből az oldalak aránya olvasható ki: a : b : c = sin α : sin β : sin γ.

Hogyan számolom ki az oldalakat egy oldalból és két szögből?

Először a harmadik szöget a 180°-os szögösszegből, majd a szinusztétellel: b = a · sin βsin α. Ugyanígy jön ki a harmadik oldal is.

Mikor kell koszinusztétel a szinusztétel helyett?

Akkor, ha a megadott szög a két ismert oldal között van, vagy ha mindhárom oldal adott, és szöget keresel. A szinusztétel csak akkor indul el, ha van egy egymással szemközti oldal-szög párod.

Szabályos háromszög oldalai kiszámíthatók a szögekből?

A szögek mindig 60°-osak, ezért belőlük semmi nem következik a méretre. Egy oldal, a kerület, a magasság vagy a terület viszont már meghatározza az egész háromszöget.

Fok vagy radián módban legyen a számológép?

Fok (DEG) módban, ha a feladat fokban adja a szögeket. Radián módban a sin 40° helyett egy egészen más értéket kapsz, és minden ráépülő oldal hibás lesz.