Szögszámítás
A háromszög belső szögeinek összege
Nem elég tudni, hogy 180° – ezen az oldalon be is bizonyítjuk, kétféleképpen, és megnézzük, mikor nem igaz a tétel.
Röviden a válasz
Bármely háromszög három belső szögének összege pontosan 180°. Ez független attól, hogy a háromszög kicsi vagy nagy, hegyesszögű, derékszögű vagy tompaszögű.
Ebből következik, hogy két szögből a harmadik mindig egy kivonás: γ = 180° − α − β. Derékszögű háromszögben pedig a két hegyesszög összege 90°.
Hiányzó szög kiszámítása
Írd be a két ismert szöget és egy oldalt – a harmadik szöget a 180°-os szabályból kapod meg.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A tétel pontos alakja
A síkháromszög három belső szögének összege minden esetben 180°, vagyis egy egyenesszög. Jelölésekkel:
Fontos, hogy a tétel a belső szögekre vonatkozik. A háromszög külső szögeinek összege ettől eltérően 360° – erről a háromszög külső szögei oldalon olvashatsz.
Miért pont 180°? – bizonyítás párhuzamos egyenessel
Ez a klasszikus bizonyítás, és pár sorban végigvihető. Az alapja az, hogy a párhuzamos egyeneseket metsző egyenesnél a váltószögek egyenlők.
A bizonyítás menete
- Húzz párhuzamostA C csúcson át húzz egy egyenest, amely párhuzamos a szemközti c = AB oldallal.
- Keresd meg a váltószögeketAz AC oldal metszi a két párhuzamost, így a C-nél keletkező egyik szög egyenlő α-val. Ugyanígy a BC oldalnál keletkező szög egyenlő β-val.
- Add összeA C csúcsnál most három szög fekszik egymás mellett egy egyenesen: α, γ és β. Egy egyenes mentén a szögek összege 180°.
- Készen vagyTehát α + γ + β = 180°, és ezt akartuk belátni.
Ellenőrzés papírral – 30 másodperc
Ha nem hiszed el, kipróbálhatod. Rajzolj egy tetszőleges háromszöget papírra, vágd ki, majd tépd le mind a három sarkát. Illeszd a három letépett sarkot csúcsukkal egy pontba, egymás mellé: pontosan kiadnak egy egyenesszöget, vagyis egy félfordulatot.
A kísérlet azért győz meg, mert bármilyen háromszöggel elvégezheted – nyújtott, lapos, hegyes –, és mindig ugyanaz jön ki. Ez pontosan az, amit a bizonyítás formálisan is állít.
A tétel használata: a hiányzó szög
A gyakorlatban szinte mindig egy szöget keresel, és kettőt ismersz. Ilyenkor a tételt kivonás alakban használod. Ha nem szögeket, hanem oldalakat kaptál, a háromszög szögszámítás oldal mutatja meg, melyik eszközt válaszd.
Kidolgozott példa · α = 62°, β = 47°
Mekkora a harmadik belső szög?
- A tételből kifejezve a harmadik szöget:γ = 180° − (α + β)
- Az ismert két szög összege:α + β = 62° + 47° = 109°
- Innen:γ = 180° − 109° = 71°
Eredményγ = 71° – a háromszög hegyesszögű, mert mindhárom szöge kisebb 90°-nál.
Derékszögű háromszögben a tétel egy külön hasznos alakot ölt. Mivel az egyik szög 90°, a maradék kettőre csak 90° marad:
| Háromszög | Amit a tétel ad |
|---|---|
| Szabályos | Mindhárom szög egyenlő, tehát 180° : 3 = 60°. |
| Derékszögű | A két hegyesszög összege 90°. |
| Egyenlő szárú | Ha a szárszög α, akkor az alapon fekvő szögek 180° − α2. |
| Tompaszögű | Csak egy tompaszöge lehet, a másik kettő biztosan hegyesszög. |
Mikor nem igaz a 180°?
Síkban mindig igaz. Gömbfelületen viszont nem: a Föld felszínén egy háromszög szögösszege nagyobb 180°-nál. Például az Északi-sarkból két, egymásra merőleges délkör mentén az Egyenlítőig futó háromszögnek három derékszöge van, összesen 270°. Ennek az az oka, hogy a gömbön nem húzható a bizonyításban használt párhuzamos egyenes.
A dolgozatban persze mindig síkháromszögről van szó, tehát nyugodtan használhatod a 180°-ot. A gömbi eset azt mutatja meg, hogy a tétel nem magától értetődő – bizonyítani kell.
Gyors önellenőrzés
Egy háromszög két szöge 90° és 38°. Mekkora a harmadik?
Igaz-e, hogy egy nagyon nagy háromszög szögeinek összege több, mint egy kicsié?
Hány derékszöge lehet egy síkháromszögnek?
Gyakori kérdések
Mennyi a háromszög belső szögeinek összege?
Pontosan 180°. Ez minden síkháromszögre igaz, típustól és mérettől függetlenül.
Mennyi a derékszögű háromszög belső szögeinek összege?
Szintén 180° – a derékszög nem kivétel. Ebből következik, hogy a két hegyesszög összege 90°, tehát egymás pótszögei.
Hogyan bizonyítható a 180°-os tétel?
Az egyik csúcson át párhuzamost húzunk a szemközti oldallal. A váltószögek egyenlősége miatt a másik két szög átvihető ehhez a csúcshoz, és ott a három szög egy egyenesszöget, vagyis 180°-ot alkot.
Mennyi a háromszög külső szögeinek összege?
A külső szögek összege 360°, mert minden csúcsnál a belső és a külső szög együtt 180°: 3 · 180° − 180° = 360°.
Egyenlő szárú háromszögnél is 180° az összeg?
Igen. Ott a két alapon fekvő szög egyenlő, ezért ha a szárszög α, akkor mindkét alapon fekvő szög 180° − α2.