Oldalak kiszámítása
Derékszögű háromszög oldalainak kiszámítása
Két adat elég bármelyik hiányzó oldalhoz. Az egyetlen kérdés, hogy a két adat két oldal-e (akkor Pitagorasz) vagy egy oldal és egy szög (akkor szögfüggvény).
Röviden a válasz
Ha két oldalt ismersz, a harmadik a Pitagorasz-tételből jön: az átfogó c = √a2 + b2, a befogó pedig a = √c2 − b2. Az összeadás és a kivonás sorrendje nem cserélhető fel: a négyzetek közül mindig az átfogóé a legnagyobb.
Ha egy oldalt és egy hegyesszöget ismersz, szögfüggvény kell: sin, ha az átfogó és a szemközti befogó szerepel, cos, ha az átfogó és a szög melletti befogó, tg, ha a két befogó. Két szögből viszont soha nem jön ki oldal – ahhoz kell legalább egy hosszadat.
Derékszögű háromszög oldalszámoló
Írj be két adatot – a hiányzó oldalakat és szögeket kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van, tehát c az átfogó.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Melyik oldal micsoda?
A derékszögű háromszögnek két befogója és egy átfogója van. A befogók fogják közre a derékszöget, az átfogó pedig a derékszöggel szemközti oldal – ez mindig a leghosszabb. A megszokott jelöléssel a derékszög a C csúcsnál van, tehát a és b a befogó, c az átfogó.
Két oldalból: Pitagorasz-tétel
A Pitagorasz-tétel szerint a két befogó négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével: a2 + b2 = c2. Ebből az egyenletből bármelyik oldal kifejezhető, csak arra kell figyelni, hogy az átfogó a magányos tag az egyenlet másik oldalán.
Kidolgozott példa · Befogók: a = 10 cm, b = 24 cm
Mekkora az átfogó?
- A két befogó négyzetét összeadjuk:c2 = 102 + 242 = 100 + 576 = 676
- Gyököt vonunk:c = √676 = 26 cm
- Ellenőrzés: az átfogónak nagyobbnak kell lennie a nagyobbik befogónál, de kisebbnek a kettő összegénél:24 < 26 < 34
Eredményc = 26 cm
Visszafelé ugyanez a tétel működik, csak kivonással. Ilyenkor az átfogó négyzetéből vonjuk ki az ismert befogóét – soha nem fordítva, mert akkor negatív szám alól kellene gyököt vonni.
Kidolgozott példa · Átfogó: c = 34 cm, egyik befogó: b = 30 cm
Mekkora a másik befogó?
- A Pitagorasz-tételt a hiányzó befogóra rendezzük:a2 = c2 − b2
- Behelyettesítünk:a2 = 342 − 302 = 1156 − 900 = 256
- Gyököt vonunk:a = √256 = 16 cm
Eredménya = 16 cm
Oldalból és szögből: szögfüggvények
Ha csak egy oldalad van, de mellé egy hegyesszöget is, a Pitagorasz-tétel nem elég. Ilyenkor a szögfüggvények kötik össze az oldalakat a szöggel. Az α szögre nézve a a szemközti, b a melletti befogó:
A gyakorlatban ezeket átrendezve használod. Ha az átfogó ismert, szorzol: a = c · sin α. Ha egy befogó ismert és az átfogót keresed, osztasz: c = asin α.
Kidolgozott példa · Átfogó: c = 18 cm, α = 28°
Mekkora a két befogó?
- Az α-val szemközti befogó a szinuszból:a = c · sin α = 18 · sin 28° = 18 · 0,4695
- Vagyis:a = 8,45 cm
- Az α melletti befogó a koszinuszból:b = c · cos α = 18 · 0,8829 = 15,89 cm
- Ellenőrzés Pitagorasszal:8,452 + 15,892 = 71,40 + 252,49 = 323,89 ~ 182
Eredménya = 8,45 cm, b = 15,89 cm
Melyik adatból melyik módszer?
Ez a táblázat lefedi az összes esetet. Mindig két adat kell, és a kettő közül legalább az egyiknek oldalnak kell lennie.
| Amit tudsz | Amit keresel | Amit használsz |
|---|---|---|
| Két befogó (a, b) | átfogó | c = √a2 + b2 |
| Átfogó és egy befogó | másik befogó | b = √c2 − a2 |
| Átfogó és egy hegyesszög | mindkét befogó | a = c · sin α, b = c · cos α |
| Befogó és a vele szemközti szög | átfogó | c = asin α |
| Befogó és a mellette lévő szög | másik befogó | a = b · tg α |
| Két hegyesszög | — | nem elég, hiányzik a méret |
Mi van, ha nincs derékszög?
A Pitagorasz-tétel és a sin, cos, tg fenti alakjai kizárólag derékszögű háromszögben érvényesek. Ha a háromszögben nincs 90°-os szög, két másik eszköz van: a koszinusztétel (két oldal és a közbezárt szög) és a szinusztétel (egy oldal és két szög). Ezekről a háromszög oldalainak kiszámítása képlet és a háromszög oldalainak kiszámítása szögekből oldalon olvashatsz.
Trükk viszont van: egy tetszőleges háromszöget a magasság két derékszögű darabra vág, és a darabokban már használhatod a fenti képleteket. Sok érettségi feladat pontosan erre épül.
Gyors önellenőrzés
Egy derékszögű háromszög befogói 12 cm és 16 cm. Mekkora az átfogó?
Az átfogó 26 cm, az egyik befogó 24 cm. Mekkora a másik befogó?
Melyik szögfüggvény kell, ha a c átfogót és az α szöget ismered, és a b befogót keresed?
Kijöhet-e oldal két hegyesszögből?
Gyakori kérdések
Hogyan számolom ki a derékszögű háromszög oldalait?
Két adatra van szükséged. Ha két oldal ismert, a harmadik a Pitagorasz-tételből jön: c = √a2 + b2 az átfogóra, a = √c2 − b2 a befogóra. Ha egy oldal és egy hegyesszög ismert, szögfüggvényt használj.
Hogyan számolom ki az oldalakat szögekkel?
Az α szögre nézve sin α = ac, cos α = bc és tg α = ab. Ezeket rendezd át aszerint, hogy mit keresel: ha az átfogót tudod, szorzol (a = c · sin α), ha a befogót, akkor osztasz (c = asin α).
Hogyan számolom ki egy nem derékszögű háromszög oldalait?
Két oldalból és a közbezárt szögből koszinusztétellel: a2 = b2 + c2 − 2 · b · c · cos α. Egy oldalból és két szögből szinusztétellel: asin α = bsin β. A Pitagorasz-tétel ilyenkor nem használható.
Melyik oldal az átfogó?
Az, amelyik a derékszöggel szemben van. Ez mindig a háromszög leghosszabb oldala, és a szokásos jelölésben c-vel jelöljük, mert a derékszög a C csúcsnál van.
Van kalkulátor a derékszögű háromszög oldalaihoz?
Igen, az oldal tetején lévő kalkulátorba írj be két adatot (két oldalt, vagy egy oldalt és egy szöget), és megkapod a hiányzó oldalakat, szögeket, a területet és a kerületet is.
Miért nem lehet két szögből kiszámolni az oldalakat?
Mert a szögek csak a háromszög alakját rögzítik, a méretét nem. Végtelen sok, egymáshoz hasonló háromszögnek ugyanazok a szögei – közülük egyetlen hosszadat választja ki a keresettet.