Háromszögfajták
Hegyesszögű háromszög
A legfontosabb kérdés nem az, hogy mi a definíció, hanem hogy három megadott oldalról hogyan döntöd el egyetlen összehasonlítással: hegyesszögű, derékszögű vagy tompaszögű?
Röviden a válasz
A hegyesszögű háromszög mindhárom belső szöge kisebb 90°-nál. Ha csak az oldalakat ismered, a leghosszabb oldal négyzetét kell összevetned a másik kettő négyzetösszegével: ha c2 < a2 + b2, a háromszög hegyesszögű.
Ilyen háromszögben minden magasság talppontja az oldalra esik, a magasságpont és a köré írt kör középpontja pedig a háromszög belsejében van.
Hegyesszögű háromszög kalkulátor
Írd be a három oldalt – a szögekből azonnal látod, tényleg hegyesszögű-e.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mikor hegyesszögű egy háromszög?
Akkor, ha mindhárom szöge hegyesszög, vagyis 0° és 90° közé esik. Egyetlen 90°-os vagy annál nagyobb szög is elrontja: onnantól derékszögű vagy tompaszögű a háromszög. Mivel a szögek összege 180°, a hegyesszögű háromszög szögei sosem lehetnek nagyon egyenlőtlenek – a legnagyobb szög legalább 60°, de 90°-nál kisebb.
Eldöntés három oldalból – egyetlen összehasonlítással
Nem kell szöget számolni. Keresd meg a leghosszabb oldalt (jelöljük c-vel), és hasonlítsd össze a négyzetét a másik két oldal négyzetösszegével. A Pitagorasz-tétel a határeset, a két oldalán pedig a másik két típus áll:
Ez a koszinusztételből következik: c2 = a2 + b2 − 2ab · cos γ. Ha γ hegyesszög, a cos γ pozitív, tehát levonunk valamit – így lesz c2 kisebb. Ha γ tompaszög, a koszinusz negatív, és a kivonásból hozzáadás lesz.
Kidolgozott példa · a = 8 cm, b = 9 cm, c = 12 cm
Hegyesszögű-e ez a háromszög?
- A leghosszabb oldal a 12 cm-es. Ennek négyzete:c2 = 122 = 144
- A másik két oldal négyzetösszege:a2 + b2 = 64 + 81 = 145
- Összehasonlítás:144 < 145
- A legnagyobb szög ellenőrzésül koszinusztétellel:cos γ = 64 + 81 − 1442 · 8 · 9 = 1144 → γ = 89,6°
EredményHegyesszögű, de épp csak: a legnagyobb szöge 89,6°.
A hegyesszögű háromszög tulajdonságai
- Mindhárom magasság talppontja az oldalon belülre esik, nem kell oldalt meghosszabbítani.
- A magasságpont a háromszög belsejében van.
- A köré írt kör középpontja is belül van – a tompaszögűnél kívülre, a derékszögűnél épp az átfogóra kerül.
- A legnagyobb szöge 60° és 90° közé esik, a legkisebb pedig legfeljebb 60°.
- Minden szabályos háromszög hegyesszögű (mindhárom szöge 60°), de nem minden hegyesszögű szabályos.
- Lehet egyszerre egyenlő szárú is – akkor a szárszög és az alapon fekvő szögek is 90° alatt maradnak.
Területe és magassága
Ugyanazok a képletek érvényesek, mint bármely háromszögre. Ha csak a három oldalt ismered, a Héron-képlet a legrövidebb út – innen a magasság már egy osztás.
Kidolgozott példa · a = 13 cm, b = 14 cm, c = 15 cm
Mekkora a terület és a leghosszabb oldalhoz tartozó magasság?
- Félkerület:s = 13 + 14 + 152 = 21 cm
- Héron-képlet:T = √21 · (21-13) · (21-14) · (21-15) = √21 · 8 · 7 · 6
- A gyök alatt 7056 áll, ami pontos négyzetszám:T = 84 cm2
- A 15 cm-es oldalhoz tartozó magasság:mc = 2 · 8415 = 11,2 cm
EredményT = 84 cm², mc = 11,2 cm
Ez a háromszög tényleg hegyesszögű: 152 = 225, míg 132 + 142 = 365, tehát bőven teljesül a feltétel. További területképletek: háromszög területe oldalakból.
Szerkesztése három oldalból
Például a 13-14-15 cm-es háromszög
- Mérd fel a leghosszabb oldalt (15 cm) egy egyenesre: ez lesz az AB szakasz.
- Nyisd a körzőt 13 cm-re, és rajzolj körívet a B pont körül.
- Nyisd a körzőt 14 cm-re, és rajzolj körívet az A pont körül.
- A két körív metszéspontja a C csúcs – kösd össze A-val és B-vel.
A szerkesztés csak akkor sikerül, ha a két körív valóban metszi egymást, vagyis teljesül a háromszög-egyenlőtlenség. A szerkesztés menete lépésről lépésre: hegyesszögű háromszög szerkesztése.
Gyors önellenőrzés
Hegyesszögű-e a 6, 8, 10 cm oldalú háromszög?
Egy háromszög két szöge 40° és 45°. Hegyesszögű?
Hol van a hegyesszögű háromszög magasságpontja?
Gyakori kérdések
Mi a hegyesszögű háromszög?
Olyan háromszög, amelynek mindhárom belső szöge kisebb 90°-nál. Elég egyetlen 90°-os vagy nagyobb szög, és már nem hegyesszögű a háromszög.
Mik a hegyesszögű háromszög tulajdonságai?
Mindhárom magasság talppontja az oldalra esik, a magasságpont és a köré írt kör középpontja a háromszög belsejében van, a legnagyobb szöge pedig 60° és 90° közé esik.
Hogyan döntöm el az oldalakból, hogy hegyesszögű-e?
Vedd a leghosszabb oldal négyzetét, és hasonlítsd a másik két oldal négyzetösszegéhez. Ha kisebb nála, hegyesszögű; ha egyenlő, derékszögű; ha nagyobb, tompaszögű.
Hogyan számolom ki a hegyesszögű háromszög területét?
Ugyanúgy, mint bármely háromszögét: T = a · ma2, három oldalból Héron-képlettel, két oldalból és a közbezárt szögből pedig T = a · b · sin γ2.
Hogyan szerkeszthető meg három oldalból?
Mérd fel a leghosszabb oldalt, majd a két végpontból a másik két oldal hosszával körívezz. A körívek metszéspontja adja a harmadik csúcsot.
Minden egyenlő oldalú háromszög hegyesszögű?
Igen, mert a szabályos háromszög mindhárom szöge 60°. Fordítva viszont nem igaz: sok hegyesszögű háromszögnek három különböző oldala van.