Szerkesztés
Hegyesszögű háromszög szerkesztése
A szerkesztés menete ugyanaz, mint bármely háromszögnél – a nehézség az, hogy az adatokból előre lásd: tényleg mind a három szög hegyes lesz-e.
Röviden a válasz
Három oldalból ugyanúgy szerkeszted, mint bármelyik háromszöget (alapvonal, majd két körív), de a hegyesszögűség csak akkor teljesül, ha a leghosszabb oldal négyzete kisebb a másik kettő négyzetösszegénél: a2 < b2 + c2.
Ha szögekből indulsz, mindhárom megadott vagy kiszámolt szögnek 90° alatt kell lennie – ehhez elég, ha bármely két szög összege nagyobb 90°-nál.
Hegyesszögű-e? Ellenőrző kalkulátor
Írd be a három oldalt: a kiemelt érték a legnagyobb szög. Ha ez 90° alatt marad, a háromszöged hegyesszögű.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mikor lesz mind a három szög hegyes?
A háromszögnek legfeljebb egy szöge lehet 90° vagy annál nagyobb, hiszen a három szög összege 180°. Ezért csak a legnagyobb szöget kell megvizsgálni – ez pedig mindig a leghosszabb oldallal szemben van. Ha ez a szög hegyes, akkor a másik kettő is az.
| Oldalak (cm) | Összehasonlítás | A háromszög fajtája |
|---|---|---|
| 6 – 5 – 4 | 36 < 25 + 16 = 41 | hegyesszögű |
| 5 – 4 – 3 | 25 = 16 + 9 | derékszögű |
| 8 – 5 – 6 | 64 > 25 + 36 = 61 | tompaszögű |
Szerkesztés három oldalból
Kidolgozott példa · a = 6 cm, b = 5 cm, c = 4 cm
Szerkeszd meg a háromszöget, és igazold, hogy hegyesszögű!
- Előzetes ellenőrzés a leghosszabb oldalra:62 = 36 < 52 + 42 = 41
- Mérd fel az AB = c = 4 cm szakaszt egy egyenesre.AB = 4 cm
- Az A pontból b = 5 cm sugarú körívet rajzolj.AC = b = 5 cm
- A B pontból a = 6 cm sugarú körívet rajzolj: a metszéspont a C csúcs.BC = a = 6 cm
- A legnagyobb szög koszinusztétellel:cos α = 25 + 16 − 362 · 5 · 4 = 540 = 0,125
- Innen a szög nagysága:α = 82,8°
Eredményα = 82,8°, β = 55,8°, γ = 41,4° – mindhárom szög 90° alatt van, a háromszög hegyesszögű.
Szerkesztés egy oldalból és két szögből
Ha szögek az adatok, még egyszerűbb a dolgod: a harmadik szöget kiszámolod, és ha mind a három 90° alatt van, a háromszög hegyesszögű lesz. Az ökölszabály: bármely két szög összege legyen nagyobb 90°-nál – ekkor a harmadik szög (ami 180° mínusz ez az összeg) automatikusan hegyes.
Kidolgozott példa · c = 7 cm, α = 70°, β = 60°
Szerkeszd meg a háromszöget, és döntsd el, hegyesszögű-e!
- A harmadik szög:γ = 180° − 70° − 60° = 50°
- Mindhárom szög hegyes, tehát a háromszög hegyesszögű lesz.70° < 90°, 60° < 90°, 50° < 90°
- Mérd fel az AB = c = 7 cm szakaszt, majd az A csúcsnál 70°-ot, a B csúcsnál 60°-ot.AB = 7 cm
- A két félegyenes metszéspontja a C csúcs. Ellenőrzésül a szinusztételből:a = 7 · sin 70°sin 50° = 8,59 cm
EredményA háromszög hegyesszögű, mert mindhárom szöge 90° alatt marad.
Mire jó tudni, hogy hegyesszögű?
- Mindhárom magasság talppontja az oldalra esik, tehát nem kell oldalt meghosszabbítani.
- A magasságpont és a körülírt kör középpontja is a háromszögön belül van – tompaszögű háromszögben mindkettő kívülre kerül.
- A koszinusztételben minden szög koszinusza pozitív, így számolásnál nem kell negatív értékkel bajlódnod.
- Szerkesztéskor a körívek metszéspontja „magasan" van az alapvonal fölött – ha nagyon lapos háromszöget kapsz, gyanakodj, hogy elszámoltad az adatokat.
Gyors önellenőrzés
Hegyesszögű-e a 9 – 8 – 7 cm oldalú háromszög?
Két szög 40° és 45°. Lehet-e hegyesszögű a háromszög?
Miért elég csak a leghosszabb oldalt megvizsgálni?
Gyakori kérdések
Hogyan szerkesztek hegyesszögű háromszöget?
Ugyanúgy, mint bármelyik háromszöget: mérd fel az egyik oldalt, majd a másik két oldalt körívvel, vagy a két szöget félegyenessel. A hegyesszögűséget az adatok döntik el, nem a szerkesztés módja.
Mikor hegyesszögű egy háromszög?
Ha mindhárom szöge kisebb 90°-nál. Oldalakból ezt úgy ellenőrzöd, hogy a leghosszabb oldal négyzete kisebb legyen a másik kettő négyzetének összegénél: a2 < b2 + c2.
Elég, ha a háromszög-egyenlőtlenség teljesül?
Nem. Az csak azt garantálja, hogy a háromszög megszerkeszthető. A 8 – 5 – 6 cm-es adatokból is összeáll egy háromszög, de az tompaszögű lesz.
Két szögből hogyan látom, hogy hegyesszögű lesz-e?
Számold ki a harmadikat: 180° mínusz a két adott szög összege. Ha ez is 90° alatt van, és a két adott szög is hegyes, akkor a háromszög hegyesszögű.
Lehet egy háromszögnek két derékszöge?
Nem, mert akkor a harmadik szög 0° lenne. Ezért is elég mindig csak a legnagyobb szöget vizsgálni.