Háromszögfajták
A háromszög tulajdonságai
Hat állítás, ami kivétel nélkül minden háromszögre igaz – és egy táblázat arról, mi jön ehhez hozzá a derékszögű, a hegyesszögű, az egyenlő szárú és a szabályos háromszögnél.
Röviden a válasz
Minden háromszögre igaz: a belső szögek összege 180°, a külső szögek összege 360°, bármely két oldal összege nagyobb a harmadiknál, a nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van, és a nevezetes vonalai (magasságok, súlyvonalak, szögfelezők, oldalfelező merőlegesek) hármasával egy-egy pontban metszik egymást.
Ezek a tulajdonságok minden típusra érvényesek. A típusok – derékszögű, hegyesszögű, tompaszögű, egyenlő szárú, szabályos – ehhez tesznek hozzá további megkötéseket, például a Pitagorasz-tételt vagy a szimmetriatengelyt.
A hat alaptulajdonság
Ez a hat állítás bármely háromszögre igaz, függetlenül attól, hogy milyen alakú. Ha egy feladatban semmit nem tudsz a háromszögről, ezekre akkor is támaszkodhatsz.
- A három belső szög összege 180°.
- A három külső szög összege 360°, és minden külső szög egyenlő a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
- Bármely két oldal összege nagyobb a harmadiknál – ez a háromszög-egyenlőtlenség.
- A nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van, és fordítva.
- A háromszögnek három csúcsa, három oldala és három szöge van; legfeljebb egy szöge lehet derékszög vagy tompaszög.
- A nevezetes vonalai hármasával egy pontban metszik egymást: magasságpont, súlypont, beírt kör középpontja, köré írt kör középpontja.
Szögösszeg: miért pont 180°?
Húzz a C csúcson át párhuzamost az AB oldallal. A párhuzamosokat metsző egyenesek váltószögei egyenlők, így az α és a β szög „átkerül" a C csúcs mellé. Ott a három szög együtt egy egyenesszöget, vagyis 180°-ot tölt ki. Részletesen: a háromszög belső szögeinek összege.
Kidolgozott példa · Két szög: 47° és 68°
Mekkora a harmadik belső szög és a hozzá tartozó külső szög?
- A szögösszegből a harmadik szög:γ = 180° − 47° − 68° = 65°
- A külső szög a mellette lévő belső szög kiegészítője 180°-ra:γk = 180° − 65° = 115°
- Ellenőrzés a külső szög tételével – a másik két belső szög összege:47° + 68° = 115°
Eredményγ = 65°, a hozzá tartozó külső szög 115°
A második ellenőrzés nem véletlenül jött ki ugyanarra: a külső szög mindig a nem mellette fekvő két belső szög összege. Ez a leggyorsabb önellenőrzés dolgozatban, bővebben a háromszög külső szögei oldalon.
Háromszög-egyenlőtlenség: mikor létezik a háromszög?
Három megadott hosszból nem mindig lehet háromszöget építeni. A feltétel: a két rövidebb oldal összege legyen nagyobb a leghosszabbnál. Ha csak egyenlő, a három szakasz egy egyenesbe simul, és nincs háromszög.
| Oldalak | Ellenőrzés | Van háromszög? |
|---|---|---|
| 5, 9, 12 cm | 5 + 9 = 14 > 12 | Igen |
| 4, 6, 11 cm | 4 + 6 = 10 < 11 | Nem |
Oldalak és szögek sorrendje
A háromszög egyik legkevésbé kihasznált tulajdonsága: az oldalak és a velük szemközti szögek sorrendje mindig megegyezik. Ha a > b > c, akkor α > β > γ. Ebből következik, hogy a derékszögű háromszögben az átfogó a leghosszabb oldal (a derékszög a legnagyobb szög), és hogy egyenlő oldalakhoz egyenlő szögek tartoznak.
Mit tesz hozzá ehhez az egyes típus?
| Típus | Szögei | Ami külön igaz rá |
|---|---|---|
| Hegyesszögű | mindhárom < 90° | A magasságpont és a köré írt kör középpontja is belül van. |
| Derékszögű | egy szög = 90° | Pitagorasz-tétel, Thalész-kör, a magasságpont a derékszög csúcsa. |
| Tompaszögű | egy szög > 90° | A magasságpont és a köré írt kör középpontja kívülre esik. |
| Egyenlő szárú | két szög egyenlő | Egy szimmetriatengely, két egyenlő oldal. |
| Szabályos | mindhárom 60° | Három szimmetriatengely, minden nevezetes pont egybeesik. |
| Általános | mind különböző | Nincs szimmetriatengelye, csak az alaptulajdonságok érvényesek. |
A típusonkénti részletek külön oldalakon: derékszögű háromszög tulajdonságai, hegyesszögű háromszög, egyenlő szárú háromszög és egyenlő oldalú háromszög.
Nevezetes vonalak és pontok
Minden háromszögben négy vonalhármas van, és mindegyik hármas egyetlen pontban találkozik. Ez önmagában is meglepő tulajdonság: három tetszőleges egyenes általában nem megy át közös ponton.
- Magasságok – a magasságpontban metszik egymást.
- Súlyvonalak – a súlypontban, amely mindegyiket 2:1 arányban osztja a csúcs felől.
- Szögfelezők – a beírt kör középpontjában.
- Oldalfelező merőlegesek – a köré írt kör középpontjában.
A négy pont elhelyezkedéséről és szerkesztéséről a háromszög nevezetes vonalai oldalon írtunk bővebben.
Gyors önellenőrzés
Lehet-e egy háromszögnek két derékszöge?
Szerkeszthető-e háromszög 3, 4 és 8 cm-es oldalakból?
Egy háromszög szögei 30°, 60° és 90°. Melyik oldala a leghosszabb?
Gyakori kérdések
Melyek a háromszög legfontosabb tulajdonságai?
A belső szögek összege 180°, a külső szögeké 360°, bármely két oldal összege nagyobb a harmadiknál, a nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van, és a nevezetes vonalai hármasával egy-egy pontban metszik egymást.
Mik a derékszögű háromszög tulajdonságai?
Egy szöge 90°, a másik kettő összege szintén 90°. Igaz rá a Pitagorasz-tétel, az átfogó a leghosszabb oldala, a köré írt kör középpontja az átfogó felezőpontja, a területe pedig a két befogó szorzatának fele.
Mik a hegyesszögű háromszög tulajdonságai?
Mindhárom szöge 90°-nál kisebb, ezért a magasságok talppontja az oldalakra esik, a magasságpont és a köré írt kör középpontja pedig a háromszög belsejében van.
Mik a szabályos háromszög tulajdonságai?
Mindhárom oldala egyenlő, mindhárom szöge 60°, három szimmetriatengelye van, és a súlypont, a magasságpont, valamint a beírt és köré írt kör középpontja egyetlen pontba esik.
Hány szimmetriatengelye van egy háromszögnek?
Az általános háromszögnek egy sem, az egyenlő szárúnak pontosan egy, a szabályosnak három. Középpontosan szimmetrikus háromszög viszont egyáltalán nincs.