Háromszögfajták
Tompaszögű háromszög
Egyetlen tompaszög is elég belőle – és az egész háromszög viselkedése megváltozik tőle: két magasság kicsúszik, a köré írt kör középpontja kívülre kerül.
Röviden a válasz
A háromszög tompaszögű, ha az egyik belső szöge nagyobb 90°-nál (de kisebb 180°-nál). Ilyen szögből legfeljebb egy lehet, mert a három szög összege 180°.
Három oldalból egyetlen összehasonlítással eldöntöd: ha a leghosszabb oldal négyzete nagyobb, mint a másik két oldal négyzetének összege, a háromszög tompaszögű. Például 62 + 92 = 117 < 144 = 122, tehát a 6 – 9 – 12 cm oldalú háromszög tompaszögű.
Tompaszögű-e? Szögkalkulátor három oldalból
Írd be a három oldalt: a kiemelt $γ$ a leghosszabb oldallal szemközti, tehát a legnagyobb szög. Ha 90° fölött van, a háromszög tompaszögű – a beállított 6 – 9 – 12 cm épp 104,48°-ot ad.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mitől lesz egy háromszög tompaszögű?
A háromszögeket a szögeik alapján három csoportba soroljuk: hegyesszögű (mindhárom szöge 90°-nál kisebb), derékszögű (van egy pontosan 90°-os szöge) és tompaszögű (van egy 90°-nál nagyobb szöge). A besorolás mindig a legnagyobb szögön múlik, a másik kettő ilyenkor automatikusan hegyesszög.
A tompaszöggel szemközti oldal a leghosszabb. Ez nem véletlen: minél nagyobb egy szög, annál hosszabb a vele szemközti oldal. Ha tehát rápillantasz egy háromszögre, és keresed a tompaszöget, elég a leghosszabb oldalt megkeresned – a szemközti csúcsnál lesz.
Hogyan döntöd el három oldalból?
Nem kell szöget számolnod: elég a Pitagorasz-próba. Jelölje c a leghosszabb oldalt, és hasonlítsd össze c2-et az a2 + b2 összeggel. A koszinusztételből (c2 = a2 + b2 − 2ab · cos γ) azonnal látszik, miért működik: ha c2 nagyobb, akkor cos γ negatív, márpedig a koszinusz csak 90° fölött negatív.
| Összefüggés | A legnagyobb szög | A háromszög |
|---|---|---|
| c2 < a2 + b2 | 90°-nál kisebb | hegyesszögű |
| c2 = a2 + b2 | pontosan 90° | derékszögű |
| c2 > a2 + b2 | 90°-nál nagyobb | tompaszögű |
Kidolgozott példa · a = 6 cm, b = 9 cm, c = 12 cm
Tompaszögű-e a háromszög, és ha igen, mekkora a tompaszöge?
- A leghosszabb oldal a 12 cm-es, ezért ezt hasonlítjuk össze a másik kettővel:a2 + b2 = 36 + 81 = 117
- A leghosszabb oldal négyzete:c2 = 144
- Mivel 144 > 117, a c oldallal szemközti szög tompaszög. A pontos értéke a koszinusztételből:cos γ = a2 + b2 − c22ab = 117 − 1442 · 6 · 9 = -27108 = -0,25
- Innen a szög:γ = 104,48°
EredményA háromszög tompaszögű, γ = 104,48°. A másik két szöge 28,96° és 46,57°.
A tompaszögű háromszög tulajdonságai
- Pontosan egy tompaszöge van, a másik két szöge hegyesszög.
- A leghosszabb oldal a tompaszöggel szemben található.
- A rövidebb két oldalhoz tartozó magasságok talppontja kívülre esik, az oldal meghosszabbítására.
- A magasságpont (a magasságvonalak metszéspontja) a háromszögön kívül van.
- A köré írt kör középpontja is kívülre kerül, a leghosszabb oldal túloldalára.
- A súlypont és a beírt kör középpontja viszont mindig belül marad – ezek nem függenek a szögek nagyságától.
- A belső szögek összege itt is 180°, a kerület és a terület képlete sem változik.
A köré írt kör kicsúszása a legszemléletesebb következmény: a Thalész-tétel szerint a leghosszabb oldal fölé rajzolt körben pontosan 90°-os szög látszik, tompaszög esetén tehát a csúcs a körön belülre kerül, és a középpontnak kell arrébb mennie. Részletesen a tompaszögű háromszög köré írható kör oldalon nézheted meg.
Tompaszögű háromszög területe
A területképlet nem változik: T = a · ma2, és a Héron-képlet, valamint a szinuszos alak is ugyanúgy érvényes. Az egyetlen szokatlan dolog a rajz: a magasságot néha az oldal meghosszabbításáig kell húzni.
Kidolgozott példa · a = 7 cm, b = 8 cm, γ = 120°
Mekkora a háromszög harmadik oldala és a területe?
- A harmadik oldal a koszinusztételből, cos 120° = -0,5:c2 = 49 + 64 − 2 · 7 · 8 · (-0,5) = 113 + 56 = 169
- Vagyis:c = 13 cm
- A terület a két ismert oldalból és a közbezárt szögből:T = 7 · 8 · sin 120°2 = 56 · 0,86602
- Vagyis:T = 24,25 cm2
Eredményc = 13 cm, T = 24,25 cm²
Ha csak a három oldalt ismered, a Héron-képlet ugyanezt adja: s = 14, és T = √14 · 7 · 6 · 1 = √588 = 24,25 cm². Több kidolgozott feladat a tompaszögű háromszög területe oldalon van.
Tompaszögű háromszög magassága – ami kicsúszik
A magasság definíciója szerint a csúcsból merőlegesen megyünk a szemközti oldal egyenesére. Hegyesszögű háromszögben ez az egyenes szakasza mindig magán az oldalon ér földet, tompaszögűben viszont a két rövidebb oldalnál a talppont az oldal meghosszabbítására kerül. A magasság hossza ettől még ugyanaz marad, és a területképletben is ugyanúgy használható.
Kidolgozott példa · Ugyanaz a háromszög: a = 7 cm, b = 8 cm, c = 13 cm
Mekkora a leghosszabb oldalhoz és a legrövidebb oldalhoz tartozó magasság?
- A terület már megvan: T = 24,25 cm². A leghosszabb oldalhoz tartozó magasság:mc = 2 · Tc = 48,5013 = 3,73 cm
- Ez a magasság belül van, mert a c oldal két végén hegyesszögek vannak. A legrövidebb oldalhoz tartozó magasság:ma = 2 · Ta = 48,507 = 6,93 cm
- Ennek a talppontja már kívülre esik, mert az a oldal egyik végénél a 120°-os tompaszög áll.ma > mc, hiszen a < c
Eredménymc = 3,73 cm (belül), ma = 6,93 cm (a talppont kívül van)
A magasságszámítás minden esetét a háromszög magasságának kiszámítása oldalon gyűjtöttük össze.
Tompaszögű háromszög szerkesztése
Két oldalból és a közbezárt tompaszögből
- Mérd fel az egyik ismert oldalt, például a 8 cm-es b oldalt.
- A csúcsnál mérd fel szögmérővel a tompaszöget (itt 120°-ot), és húzz egy félegyenest.
- Erre a félegyenesre mérd fel a másik ismert oldalt, a 7 cm-t.
- Kösd össze a két végpontot – ez lesz a harmadik, 13 cm-es oldal, és készen is vagy.
Három oldalból ugyanúgy körzővel szerkesztesz, mint bármely más háromszöget: a tompaszög magától kijön. A körzős trükköket és a 120°-os szög szögmérő nélküli szerkesztését a tompaszögű háromszög szerkesztése oldal mutatja meg.
Ellenőrizd magad
Gyors önellenőrzés
Tompaszögű-e a 5 – 12 – 13 cm oldalú háromszög?
Lehet-e egy tompaszögű háromszög egyenlő szárú?
Egy háromszög szögei 25°, 45° és 110°. Melyik oldala a leghosszabb?
Hol van a tompaszögű háromszög magasságpontja?
Gyakori kérdések
Mi a tompaszögű háromszög?
Olyan háromszög, amelynek az egyik belső szöge 90°-nál nagyobb, de 180°-nál kisebb. A másik két szöge szükségszerűen hegyesszög, mert a három szög összege 180°.
Honnan tudom meg az oldalakból, hogy tompaszögű-e?
Emeld négyzetre a leghosszabb oldalt, és hasonlítsd a másik két oldal négyzetének összegéhez. Ha a leghosszabb oldal négyzete nagyobb (c2 > a2 + b2), a háromszög tompaszögű. Ha egyenlő, derékszögű, ha kisebb, hegyesszögű.
Hogyan számolom ki a tompaszögű háromszög területét?
Ugyanazokkal a képletekkel, mint bármely más háromszögét: T = a · ma2, Héron-képlettel három oldalból, vagy T = b · c · sin α2 két oldalból és a közbezárt szögből. A tompaszög szinusza pozitív, ezért a képlet változtatás nélkül működik.
Miért esik kívülre a magasság a tompaszögű háromszögben?
Mert a magasság talppontja a csúcs merőleges vetülete a szemközti oldal egyenesén. Ha az oldal egyik végpontjánál tompaszög van, ez a vetület kicsúszik az oldal végén túlra. A tompaszöggel szemközti, leghosszabb oldalhoz tartozó magasság viszont belül marad.
Lehet egy háromszögnek két tompaszöge?
Nem. Két, egyenként 90°-nál nagyobb szög összege már meghaladná a 180°-ot, a harmadik szögnek pedig nem maradna hely. Ugyanígy nem lehet egy háromszögben egyszerre tompaszög és derékszög sem.
Hogyan szerkesztek tompaszögű háromszöget?
Legegyszerűbben két oldalból és a közbezárt tompaszögből: felméred az egyik oldalt, szögmérővel felviszed a tompaszöget, felméred rá a másik oldalt, és összekötöd a végpontokat. Három oldalból körzős metszéssel is megy, ilyenkor a tompaszög magától adódik.