Területszámítás
Általános háromszög területe
Az „általános" itt azt jelenti: semmilyen különleges tulajdonsága nincs. Nincs derékszög, nincs egyenlő oldal – ezért csak az a két képlet marad, amelyik minden háromszögre működik.
Röviden a válasz
Az általános háromszög területe ugyanaz az alapképlet, mint bármely másiké: T = a · ma2. A különbség csak annyi, hogy itt a magasságot semmilyen szimmetria nem adja ingyen.
Három oldalból Héron-képlettel számolj: T = √s(s-a)(s-b)(s-c). Két oldalból és a közbezárt szögből pedig T = a · b · sin γ2.
Általános háromszög kalkulátor
Bármely három adat elég, ha van köztük legalább egy oldal – a terület és a magasságok is kijönnek.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mit jelent az, hogy általános háromszög?
Általános háromszögnek azt hívjuk, amelyiknek nincs semmilyen kitüntetett tulajdonsága: nincs benne derékszög, nincs két egyenlő oldala, nincs szimmetriatengelye. Mind a három oldala és mind a három szöge különböző. Ezért nevezik különböző oldalú háromszögnek is.
Három oldalból: Héron-képlet
Ez az általános háromszög „saját" képlete, mert kizárólag oldalhosszakat kér. Előbb a félkerületet számold ki, utána jön egy négytényezős szorzat és egy gyökvonás.
Kidolgozott példa · a = 20 cm, b = 15 cm, c = 7 cm
Mekkora a háromszög területe?
- Félkerület:s = 20 + 15 + 72 = 422 = 21 cm
- A különbségek:s − a = 1, s − b = 6, s − c = 14
- Behelyettesítés:T = √21 · 1 · 6 · 14 = √1764
- Gyökvonás:T = 42 cm2
EredményT = 42 cm²
Két oldalból és a közbezárt szögből
Ha szöget is kaptál, gyorsabb út is van. A képlet lényege, hogy a b · sin α szorzat maga a magasság – csak szögfüggvénnyel felírva.
Kidolgozott példa · b = 13 cm, c = 8 cm, α = 40°
Mekkora a terület, ha a két oldal 40°-os szöget zár be?
- A szinuszos képlet:T = b · c · sin α2
- A szinusz értéke:sin 40° = 0,6428
- Behelyettesítés:T = 13 · 8 · 0,64282 = 66,852
- Eredmény:T = 33,42 cm2
EredményT = 33,42 cm²
Ha a megadott szög nem a két oldal között van, előbb szinusztétellel kell a hiányzó adatot kiszámolni, csak utána jöhet a területképlet.
Hol tűnik el a különbség a speciális háromszögektől?
| Háromszög | Rövid képlet | Mit használ ki |
|---|---|---|
| Derékszögű | T = a · b2 | A befogó merőleges, tehát magasság is. |
| Egyenlő szárú | T = a4 · √4b2 − a2 | A magasság felezi az alapot. |
| Szabályos | T = a2 · √34 | A magasság az oldalból egyértelmű. |
| Általános | Héron vagy szinuszos | Semmit – ezért kell a hosszabb út. |
Gyors önellenőrzés
Egy általános háromszög oldalai 20, 15 és 7 cm. Mekkora a 20 cm-es oldalhoz tartozó magasság?
Mikor nem használható a T = b · c · sin α2 képlet?
Melyik képlet a gyorsabb, ha három oldal és egy szög is ismert?
Gyakori kérdések
Mi az általános háromszög területének képlete?
Az alapképlet T = a · ma2. Ha magasság nincs megadva, három oldalból Héron-képlettel (T = √s(s-a)(s-b)(s-c)), két oldalból és a közbezárt szögből pedig T = b · c · sin α2 alakban számolj.
Mit jelent az, hogy általános háromszög?
Azt, hogy a háromszögnek nincs különleges tulajdonsága: mindhárom oldala és mindhárom szöge különböző, nincs benne derékszög és nincs szimmetriatengelye. Másik neve: különböző oldalú háromszög.
Az általános háromszög ugyanaz, mint a szabályos?
Éppen az ellenkezője. A szabályos háromszög mindhárom oldala egyenlő, az általánosé mind különböző. A szabályosra van rövid képlet, az általánosra nincs.
Kell-e magasság az általános háromszög területéhez?
Nem feltétlenül. A Héron-képlet és a szinuszos képlet is magasság nélkül dolgozik. A magasságot utólag a területből kaphatod meg: ma = 2 · Ta.
Tompaszögű háromszögnél is ugyanez a képlet?
Igen, mindkettő működik. A szinusz 90° fölött is pozitív, a Héron-képlet pedig egyáltalán nem használ szöget. Csak a magasság talppontja kerül az oldal meghosszabbítására.