Háromszögfajták
Általános háromszög
Ez a háromszög nem tud semmi különöset – éppen ezért érdemes vele kezdeni: amit itt kiszámolsz, az minden más háromszögre is működik.
Röviden a válasz
Általános háromszögnek azt hívjuk, amelynek nincs semmilyen kitüntetett tulajdonsága: mindhárom oldala különböző hosszú, mindhárom szöge különböző, és nincs benne derékszög sem. A neve más forrásokban „különböző oldalú" vagy „szabálytalan" háromszög.
Nincsenek rá rövidítő képletek, cserébe minden általános összefüggés érvényes rá: a szögösszeg 180°, a terület T = a · ma2, három oldalból Héron-képlettel, két oldalból és a közbezárt szögből pedig T = b · c · sin α2 számolható.
Általános háromszög kalkulátor
Bármely három adat elég, ha van köztük legalább egy oldal. A beállított 13 – 14 – 15 cm-es háromszög területe pontosan 84 cm², és a 14 cm-es oldalhoz tartozó magassága 12 cm.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mitől általános egy háromszög?
Attól, hogy nem speciális. Nem egyenlő szárú (nincs két egyenlő oldala), nem szabályos, és nem derékszögű. Ez nem hiányosság, hanem a kiindulópont: minden más háromszög ennek egy-egy megszorított esete.
Az általános háromszög lehet hegyesszögű vagy tompaszögű is – a besorolás a szögek és az oldalak szerint két külön szempont. A tompaszögű háromszög legtöbbször általános is egyben, de attól még lehet egyenlő szárú.
Melyik képlet működik mindig?
| Amit tudsz | Amit használsz | Képlet |
|---|---|---|
| Két szög | szögösszeg | α + β + γ = 180° |
| Három oldal | Héron-képlet | T = √s(s-a)(s-b)(s-c) |
| Három oldal | koszinusztétel (szögre) | cos γ = a2 + b2 − c22ab |
| Két oldal és a közbezárt szög | koszinusztétel (oldalra) | c2 = a2 + b2 − 2ab · cos γ |
| Két oldal és a közbezárt szög | szinuszos területképlet | T = a · b · sin γ2 |
| Egy oldal és két szög | szinusztétel | asin α = bsin β = 2R |
| Terület és egy oldal | magasságképlet | ma = 2 · Ta |
A Héron-képletben s a félkerület: s = a + b + c2. A magasságokat pedig soha nem kell külön képlettel keresni: ha megvan a terület, mindhárom magasság egy osztás.
Kidolgozott példa · a = 13 cm, b = 14 cm, c = 15 cm
Számold ki a terület, a magasságok és a szögek értékét!
- Félkerület:s = 13 + 14 + 152 = 21 cm
- Terület Héron-képlettel:T = √21 · 8 · 7 · 6 = √7056 = 84 cm2
- A magasságok a területből:ma = 16813 = 12,92 cm, mb = 16814 = 12 cm, mc = 16815 = 11,20 cm
- A legkisebb szög a legrövidebb oldallal szemben, koszinusztétellel:cos α = 142 + 152 − 1322 · 14 · 15 = 252420 = 0,6 → α = 53,13°
- Hasonlóan β = 59,49°, a harmadik pedig a szögösszegből:γ = 180° − 53,13° − 59,49° = 67,38°
EredményT = 84 cm², a magasságok 12,92 cm, 12 cm és 11,20 cm, a szögek 53,13°, 59,49° és 67,38°.
Hány adat határozza meg?
Egy általános háromszöghöz három független adat kell, és ezek közül legalább egynek oldalnak kell lennie. Ez a négy alapeset fordul elő:
- Három oldal (SSS): egyértelmű, ha teljesül a háromszög-egyenlőtlenség.
- Két oldal és a közbezárt szög (SAS): mindig egyértelmű, koszinusztétellel folytatod.
- Egy oldal és két szög (ASA vagy AAS): egyértelmű, szinusztétellel folytatod.
- Két oldal és az egyikkel szemközti szög (SSA): kétértelmű lehet, akár két különböző háromszög is megfelelhet.
Kidolgozott példa · b = 5 cm, c = 8 cm, α = 60°
Mekkora a harmadik oldal és a terület?
- A két ismert oldal az α szöget fogja közre, tehát a koszinusztétel az a oldalra vonatkozik. cos 60° = 0,5:a2 = 52 + 82 − 2 · 5 · 8 · 0,5 = 25 + 64 − 40 = 49
- Vagyis:a = 7 cm
- A terület a közbezárt szöggel, sin 60° = 0,8660:T = 5 · 8 · 0,86602 = 17,32 cm2
Eredménya = 7 cm, T = 17,32 cm².
A területszámítás minden esetét kidolgozott feladatokkal az általános háromszög területe oldalon találod, a magasságokat pedig a háromszög magasságának kiszámítása oldal veszi végig.
Gyors önellenőrzés
Általános-e a 6 – 6 – 9 cm oldalú háromszög?
Egy általános háromszög területe 30 cm², az egyik oldala 12 cm. Mekkora az ehhez tartozó magasság?
Melyik képlethez kell legalább egy szög?
Gyakori kérdések
Mi az általános háromszög?
Az a háromszög, amelynek nincs kitüntetett tulajdonsága: három különböző hosszú oldala és három különböző nagyságú szöge van, és nincs benne derékszög. Máshol különböző oldalú vagy szabálytalan háromszögnek is nevezik.
Hogyan számolom ki az általános háromszög területét?
Három oldalból Héron-képlettel: T = √s(s-a)(s-b)(s-c), ahol s a félkerület. Két oldalból és a közbezárt szögből T = a · b · sin γ2, alapból és magasságból pedig T = a · ma2.
Hogyan kapom meg az általános háromszög magasságát?
A területből: ma = 2 · Ta. Ha csak az oldalak ismertek, előbb Héron-képlettel számolj területet. Ha van egy oldal és egy szög, a magasság közvetlenül is adódik: ma = c · sin β.
Milyen tulajdonságai vannak az általános háromszögnek?
Belső szögeinek összege 180°, külső szögeié 360°, bármely két oldalának összege nagyobb a harmadiknál, a nagyobb szöggel szemben hosszabb oldal áll, és nevezetes vonalai (súlyvonalak, magasságok, szögfelezők) egy-egy közös pontban metszik egymást.
Hány adatból szerkeszthető meg egy általános háromszög?
Háromból, ha van köztük legalább egy oldal: három oldalból, két oldalból és a közbezárt szögből, vagy egy oldalból és két szögből. Három szögből csak a háromszög alakja adódik, a mérete nem.