Területszámítás
Háromszög területe szinusszal
A szinuszos területképlet azért működik, mert a magasság maga is egy szinuszos szorzat. Ha ezt egyszer látod, soha többé nem kell megjegyezned – bármikor újra levezeted.
Röviden a válasz
A háromszög területe két oldalból és a közbezárt szögből: T = a · b · sin γ2. A γ szög az a és b oldal által bezárt szög – ez a feltétel a képlet lelke.
Mindhárom változata igaz ugyanarra a háromszögre: T = a · b · sin γ2 = b · c · sin α2 = a · c · sin β2. Tompaszögnél sincs kivétel, mert a szinusz 90° felett is pozitív.
Területszámítás két oldalból és szögből
Írd be az a és b oldalt, valamint a köztük lévő γ szöget – a kalkulátor a szinuszos képlettel számol.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A képlet és amit jelent
A hagyományos T = a · ma2 képlethez magasság kell, amit legtöbbször külön ki kellene számolni. A szinuszos alak ezt a lépést spórolja meg: a szinusz maga állítja elő a magasságot.
Miért működik? – két soros levezetés
Bontsd le a magasságot az a oldalra. Ez a magasság a b oldal merőleges vetülete, és a γ szöghöz tartozó derékszögű részháromszögben pontosan a szinusz definíciója szerint adódik:
Kidolgozott példa: két oldal és a közbezárt szög
Kidolgozott példa · a = 14 cm, b = 11 cm, γ = 42°
A két oldal a γ szöget fogja közre. Mekkora a terület?
- Írd fel a képletet a megadott betűkkel:T = a · b · sin γ2
- Behelyettesítés:T = 14 · 11 · sin 42°2
- A szinusz értéke négy tizedesjegyre:sin 42° = 0,6691
- Szorzás:T = 154 · 0,66912 = 103,042
- Osztás:T = 51,52 cm2
EredményT = 51,52 cm²
Tompaszög: itt sincs kivétel
Sokan azt hiszik, hogy 90° felett más képlet kell. Nem kell: a szinusz a teljes 0°–180° tartományon pozitív, sőt sin(180° − γ) = sin γ, tehát a 135°-os és a 45°-os szög ugyanazt a szinuszt adja.
Kidolgozott példa · a = 9 cm, b = 6 cm, γ = 135°
Tompaszögű háromszög területe a közbezárt szögből.
- A képlet változatlan:T = 9 · 6 · sin 135°2
- A szinusz pótszögre visszavezetve:sin 135° = sin 45° = 0,7071
- Szorzás és osztás:T = 54 · 0,70712 = 19,09 cm2
EredményT = 19,09 cm²
Ez az oka annak is, hogy a szinuszos területképletből nem derül ki, hegyesszögű-e a háromszög: a 45°-os és a 135°-os eset ugyanazt a területet adja, ha a két oldal ugyanaz. A tompaszögű esetről bővebben: tompaszögű háromszög területe.
Ha nem két oldal és a szög adott
Érettségi feladatokban gyakori, hogy egy oldalt és két szöget kapsz. Ilyenkor a szinusztétel hozza a hiányzó oldalt, és utána jöhet a területképlet.
Kidolgozott példa · c = 20 cm, α = 40°, β = 75°
Mekkora a háromszög területe?
- A harmadik szög a szögösszegből:γ = 180° − 40° − 75° = 65°
- Szinusztétel az a oldalra:a = c · sin αsin γ = 20 · 0,64280,9063
- Vagyis:a = 14,18 cm
- Most már van két oldal (a és c) és a köztük lévő β szög – a kerekítetlen a-val számolva:T = a · c · sin β2 = 14,1848 · 20 · 0,96592
- Kiszámolva:T = 137,01 cm2
EredményT = 137,01 cm²
| A szög | A két oldal | A képlet |
|---|---|---|
| α (az A csúcsnál) | b és c | T = b · c · sin α2 |
| β (a B csúcsnál) | a és c | T = a · c · sin β2 |
| γ (a C csúcsnál) | a és b | T = a · b · sin γ2 |
Két nevezetes következmény
- sin 90° = 1, ezért derékszögnél a képlet a jól ismert T = a · b2 alakra egyszerűsödik – a befogós képlet ennek a speciális esete.
- sin 60° = 0,866, ezért szabályos háromszögnél T = a2 · √34 adódik, hiszen sin 60° = √32.
A képlet visszafelé is használható: ha a területet és a két oldalt ismered, a sin γ = 2 · Ta · b alakból szög számolható. Ilyenkor két megoldás van (egy hegyes- és egy tompaszög), és a feladat szövegéből kell eldönteni, melyik a jó.
Gyors önellenőrzés
Két oldal 12 és 5 cm, a közbezárt szög 30°. Mekkora a terület?
Egy háromszög két oldala 8 és 10 cm, a területe 40 cm². Mekkora a közbezárt szög?
Mekkora lehet legfeljebb egy olyan háromszög területe, amelynek két oldala 6 és 9 cm?
Miért nem használhatod a képletet, ha két oldal és a nagyobbikkal szemközti szög adott?
Gyakori kérdések
Mi a háromszög területe sin-nel felírt képlete?
T = a · b · sin γ2, ahol a és b két oldal, γ pedig a köztük lévő szög. Ugyanez felírható a másik két szögre is: b · c · sin α2 és a · c · sin β2.
Miért van benne a szinusz a területképletben?
Mert a magasság a szomszédos oldal merőleges vetülete: ma = b · sin γ. Ha ezt behelyettesíted a T = a · ma2 képletbe, azonnal megkapod a szinuszos alakot.
Működik a képlet tompaszögű háromszögre is?
Igen, változtatás nélkül. A szinusz 0° és 180° között végig pozitív, és sin 135° = sin 45°, tehát a számolás ugyanúgy megy, mint hegyesszögnél.
Mit tegyek, ha a szög nem a két megadott oldal között van?
A képlet így nem alkalmazható. Előbb a szinusztétellel számold ki a hiányzó szöget vagy oldalt, és csak utána válaszd ki azt a két oldalt, amelyik valóban közrefogja a szöget.
Ki lehet számolni a szöget a területből?
Igen: sin γ = 2 · Ta · b. Mivel a szinusz két szöghöz is tartozhat (γ és 180° − γ), az ábra vagy a feladatszöveg dönti el, melyik a keresett megoldás.