Területszámítás
Tompaszögű háromszög területe
A képlet nem változik – a rajz igen. A magasságot az oldal meghosszabbításához kell mérni, és épp ez az, ami a legtöbb hibát okozza.
Röviden a válasz
Tompaszögű háromszögre ugyanaz a képlet érvényes, mint bármelyik másikra: T = a · ma2, három oldalból pedig Héron-képlettel számolsz.
Az egyetlen különbség a rajzon látszik: a tompaszöget közrefogó oldalakhoz tartozó magasság talppontja a háromszögön kívülre, az oldal meghosszabbítására esik. A hossza ettől még ugyanúgy használható.
Tompaszögű háromszög területe
Írd be a három oldalt vagy két oldalt és a tompaszöget – a terület és a magasságok azonnal megjelennek.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mikor tompaszögű a háromszög?
Akkor, ha az egyik belső szöge nagyobb 90°-nál. Ilyen szögből legfeljebb egy lehet, hiszen a három szög összege 180°. Ha csak az oldalakat ismered, a leghosszabb oldal négyzetét hasonlítsd a másik kettő négyzetösszegéhez:
Például a 8, 6 és 4 cm oldalú háromszögben 82 = 64, a másik kettő négyzetösszege 36 + 16 = 52. Mivel 64 nagyobb 52-nél, a 8 cm-es oldallal szemközti szög tompaszög. A háromszögtípusokról bővebben a tompaszögű háromszög oldalon.
A magasság kicsúszik a háromszögből
Ez az egyetlen látványos különbség. A tompaszög csúcsával szemközti oldalhoz tartozó magasság még belül van, a másik kettő viszont az oldal meghosszabbítására érkezik. Attól, hogy a talppont kívül van, a magasság hossza teljesen szabályos érték, és pontosan ugyanúgy behelyettesíthető.
Kidolgozott példa három oldalból
Kidolgozott példa · a = 8 cm, b = 6 cm, c = 4 cm
Mekkora a tompaszögű háromszög területe?
- Félkerület:s = 8 + 6 + 42 = 9 cm
- Héron-képlet:T = √9 · (9-8) · (9-6) · (9-4) = √9 · 1 · 3 · 5
- A gyök alatt:T = √135 = 11,62 cm2
- Ellenőrzésül a legrövidebb oldalhoz tartozó magasság:mc = 2 · 11,624 = 5,81 cm
EredményT = 11,62 cm²
Ha a tompaszög adott: a szinuszos képlet
A T = a · b · sin γ2 képlet tompaszögre is változtatás nélkül működik. A magyarázat a szinusz egyik alaptulajdonsága: a kiegészítő szögek szinusza egyenlő – vagyis két olyan szögé, amelyek összege 180°. Ezért sin 120° = sin 60°.
Kidolgozott példa · a = 8 cm, b = 5 cm, γ = 120°
Mekkora a háromszög területe, ha a két oldal 120°-os szöget zár be?
- A szinuszos területképlet:T = a · b · sin γ2
- A szinusz értéke:sin 120° = sin 60° = 0,8660
- Behelyettesítve:T = 8 · 5 · 0,86602 = 34,642
- Vagyis:T = 17,32 cm2
EredményT = 17,32 cm²
Tompaszögű vagy hegyesszögű? – összehasonlítás
| Kérdés | Hegyesszögű | Tompaszögű |
|---|---|---|
| Területképlet | T = a · ma2 | ugyanaz |
| Héron-képlet | működik | ugyanúgy működik |
| Magasság talppontja | mindhárom az oldalon belül | kettő az oldal meghosszabbításán |
| Magasságpont helye | a háromszögön belül | a háromszögön kívül |
| A leghosszabb oldal négyzete | kisebb a másik kettő összegénél | nagyobb a másik kettő összegénél |
Ha a magasság kiszámítása okoz gondot, nézd meg a háromszög magasságának kiszámítása oldalt; a Héron-képlet részletes menetét pedig a terület három oldalból írja le.
Gyors önellenőrzés
Tompaszögű-e a 9, 12 és 20 cm oldalú háromszög?
Mekkora annak a háromszögnek a területe, amelynek két oldala 10 és 6 cm, a közbezárt szög 150°?
Miért nem lehet egy háromszögnek két tompaszöge?
Gyakori kérdések
Hogyan számolom ki a tompaszögű háromszög területét?
Pontosan ugyanúgy, mint bármelyik másikét: T = a · ma2, ha van magasság, Héron-képlettel, ha három oldal ismert, és T = a · b · sin γ2, ha két oldal és a köztük lévő szög adott.
Miért esik kívülre a magasság tompaszögű háromszögben?
Mert a csúcsból húzott merőleges csak akkor talál rá az oldalra, ha az oldal két végén hegyesszög van. Tompaszög esetén a merőleges az oldal meghosszabbítását metszi – a magasság hossza ettől még érvényes a területképletben.
Van-e külön területképlet tompaszögű háromszögre?
Nincs, és nem is kell. A szinuszos képlet azért működik, mert sin(180° − x) = sin x, tehát a tompaszög szinusza is pozitív. Csak a koszinusz lesz negatív.
Honnan tudom az oldalakból, hogy tompaszögű a háromszög?
Hasonlítsd össze a leghosszabb oldal négyzetét a másik két oldal négyzetének összegével. Ha c2 > a2 + b2, a háromszög tompaszögű; ha egyenlők, derékszögű; ha kisebb, hegyesszögű.
Lehet-e a magasság hosszabb, mint az az oldal, amelyre merőleges?
Igen, és tompaszögű háromszögben ez gyakori. A 8-6-4 cm oldalú háromszögben például a 4 cm-es oldalhoz 5,81 cm-es magasság tartozik.