Háromszögfajták
Háromszög
A geometria legegyszerűbb sokszöge – és minden más sokszög építőköve. Ez az oldal a fogalmakat és a két alapszabályt rakja rendbe.
Röviden a válasz
A háromszög olyan síkidom, amelyet három, nem egy egyenesre eső pont és az őket összekötő három szakasz határol. Három csúcsa, három oldala és három belső szöge van.
Két szabály minden háromszögre igaz: a belső szögek összege pontosan 180°, és bármely két oldal összege nagyobb a harmadiknál. A kerülete az oldalak összege, a területe pedig T = a · ma2.
Háromszög kalkulátor
Írd be a három oldalt (vagy két oldalt és egy szöget), és nézd meg a kerületet, a területet, a szögeket és a magasságokat. A beállított érték egy 5 – 6 – 7 cm-es háromszög.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A háromszög elemei és jelölésük
A háromszög elemeit mindenhol ugyanúgy jelöljük, és ezt érdemes az elején megjegyezni, mert az összes képlet erre épül:
- Csúcsok: nagybetűvel, A, B és C, az óramutató járásával ellentétes irányban.
- Oldalak: kisbetűvel, mindig a szemközti csúcs betűjével. Az a oldal a BC szakasz, a b a CA, a c pedig az AB.
- Szögek: görög betűvel, α az A, β a B, γ pedig a C csúcsnál.
- Magasság: ma, mb, mc – az index azt jelöli, melyik oldalra merőleges.
A két alapszabály
A szögösszeg azért 180°, mert az egyik csúcson át párhuzamost húzva a szemközti oldallal a három szög egy egyenes szöggé áll össze. A belső szögek összege oldalon ez a bizonyítás ábrával is megvan.
A háromszög-egyenlőtlenség pedig azt mondja ki, hogy a legrövidebb út két pont között az egyenes: ha kerülőt teszel a harmadik csúcson át, az hosszabb. Elég a leghosszabb oldalt ellenőrizni: ha a másik kettő összege nagyobb nála, a háromszög megszerkeszthető.
Kidolgozott példa · Megszerkeszthető-e? a = 5 cm, b = 6 cm, c = 7 cm
Létezik-e ilyen háromszög, és mekkora a kerülete?
- A leghosszabb oldal a 7 cm-es, ezt hasonlítjuk a másik kettő összegéhez:5 + 6 = 11 > 7
- Mivel az egyenlőtlenség teljesül, a háromszög létezik. A kerülete az oldalak összege:K = 5 + 6 + 7 = 18 cm
- Ellenpélda: a 3 cm, 4 cm és 8 cm hosszú szakaszokból nem lesz háromszög, mert3 + 4 = 7 < 8
EredményAz 5 – 6 – 7 cm-es háromszög megszerkeszthető, kerülete 18 cm; a 3 – 4 – 8 cm-es nem.
Kidolgozott példa · Két szög ismert: α = 65°, β = 47°
Mekkora a harmadik szög, és milyen fajta a háromszög?
- A szögösszegből:γ = 180° − 65° − 47° = 68°
- Mindhárom szög kisebb 90°-nál, tehát a háromszög hegyesszögű. A C csúcsnál lévő külső szög a belső kiegészítője:180° − 68° = 112°
Eredményγ = 68°, a háromszög hegyesszögű, a C-nél lévő külső szög 112°.
A háromszögek fajtái
Kétféleképpen csoportosítjuk őket, és a két szempont egymástól függetlenül működik: egy háromszög lehet egyszerre egyenlő szárú és tompaszögű is.
| Szempont | Fajta | Ismertetőjel |
|---|---|---|
| Oldalak szerint | általános | mindhárom oldala különböző |
| Oldalak szerint | egyenlő szárú | két oldala egyenlő, egy szimmetriatengelye van |
| Oldalak szerint | szabályos | mindhárom oldala egyenlő, minden szöge 60° |
| Szögek szerint | hegyesszögű | mindhárom szöge 90°-nál kisebb |
| Szögek szerint | derékszögű | van egy 90°-os szöge |
| Szögek szerint | tompaszögű | van egy 90°-nál nagyobb szöge |
A csoportok bemutatása külön oldalakon folytatódik: általános háromszög, tompaszögű háromszög, szimmetrikus háromszög. Minden háromszög konvex, vagyis sosem horpad be.
Kerület, terület, nevezetes vonalak
A területképletben bármelyik oldalt választhatod alapnak, csak a hozzá tartozó magassággal kell számolnod. Ha például az alap 14 cm és a rá merőleges magasság 9 cm, akkor T = 14 · 92 = 63 cm². A további képleteket a háromszög területe oldal gyűjti össze.
Minden háromszögben három súlyvonal, három magasságvonal, három szögfelező és három oldalfelező merőleges húzható, és mindegyik hármas egyetlen pontban metszi egymást (súlypont, magasságpont, a beírt és a köré írt kör középpontja). Ezekről a háromszög nevezetes vonalai oldalon olvashatsz.
Gyors önellenőrzés
Egy háromszög két szöge 90° és 35°. Mekkora a harmadik?
Lehet-e egy háromszögnek két derékszöge?
Egy háromszög területe 24 cm², az egyik oldala 8 cm. Mekkora az ehhez az oldalhoz tartozó magasság?
Gyakori kérdések
Mi a háromszög?
Három, nem egy egyenesre eső pont és az őket összekötő három szakasz által határolt síkidom. Három csúcsa, három oldala és három belső szöge van, és ez a legkevesebb oldalszámú sokszög.
Mennyi a háromszög belső szögeinek összege?
Pontosan 180°, minden háromszögben, méretétől és alakjától függetlenül. A külső szögek összege ehhez képest mindig 360°.
Milyen feltétellel szerkeszthető meg egy háromszög három oldalból?
Akkor, ha bármely két oldal összege nagyobb a harmadiknál. Elég a leghosszabb oldalt ellenőrizni: ha a másik kettő összege nem nagyobb nála, a szakaszok nem érnek össze háromszöggé.
Milyen fajtái vannak a háromszögnek?
Oldalai szerint általános, egyenlő szárú vagy szabályos; szögei szerint hegyesszögű, derékszögű vagy tompaszögű. A két szempont független egymástól, így például létezik egyenlő szárú tompaszögű háromszög is.
Hogyan számolom ki a háromszög kerületét és területét?
A kerület a három oldal összege: K = a + b + c. A terület alapból és a hozzá tartozó magasságból T = a · ma2, három oldalból pedig Héron-képlettel adódik.
Mi az a v-s-t háromszög?
Ez nem geometriai fogalom, hanem fizikai emlékeztető a sebesség, az út és az idő kapcsolatára. Egy háromszögbe felül az utat (s), alul a sebességet (v) és az időt (t) írjuk, majd letakarjuk a keresett mennyiséget: így jön ki, hogy v = st, s = v · t és t = sv.