Derékszögű háromszög magassága – átfogóhoz tartozó képlet

Q: Hogyan számolom ki a derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságát?

A két befogó szorzatát oszd el az átfogóval: mc = (a · b)/(c). Ha az átfogó nincs megadva, előbb számold ki Pitagorasz-tétellel.

Q: Hogyan kapom meg az átfogó két szeletét?

A befogótétellel: p = (a²)/(c) és q = (b²)/(c). Ellenőrzésül a kettő összege ki kell adja az átfogót.

Q: Mekkora a terület, ha csak az átfogót és a hozzá tartozó magasságot tudom?

A szokásos képlettel: T = (c · mc)/(2). Egy 15 cm-es átfogóhoz tartozó 7,2 cm-es magasság esetén ez 54 cm².

Derékszögű háromszög magasság kalkulátor

Két adat elég: két befogó, befogó és átfogó, vagy oldal és szög. Az átfogóhoz tartozó magasságot is megkapod.

azonnal számol

Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.

Példa:

a oldal: –
b oldal: –
c oldal: –
Felszín: –
β szög: –
Terület: –
Kerület: –
m_c magasság: –
Köré írt kör sugara R: –
Beírt kör sugara r: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

Két magasság ingyen van

A magasság definíciója szerint egy csúcsból merőlegesen érkezik a szemközti oldalra. A derékszögű háromszög két befogója eleve merőleges egymásra, ezért:

az a oldalhoz tartozó magasság maga a b befogó: m_a = b,
a b oldalhoz tartozó magasság maga az a befogó: m_b = a,
egyedül a c átfogóhoz tartozó m_c igényel számolást.

A 9–12–15 háromszög: a derékszög a C csúcsnál, az átfogóhoz tartozó magasság a derékszögből indul.

Az átfogóhoz tartozó magasság képlete

A terület kétféleképpen is felírható: a két befogóval és az átfogóval. Ebből a kettőből azonnal adódik a képlet.

A terület a befogókkalT = a · b2

A terület az átfogóvalT = c · m_c2

A kettőt egyenlővé tévem_c = a · bc

Kidolgozott példa · Befogók: 9 cm és 12 cm

Mekkora az átfogóhoz tartozó magasság?

Előbb kell az átfogó, Pitagorasz-tétellel:c = √9² + 12² = √81 + 144 = √225 = 15 cm
A magasság a két befogó szorzata osztva az átfogóval:m_c = 9 · 1215 = 10815
Elvégezve az osztást:m_c = 7,2 cm
Ellenőrzés a területtel:T = 9 · 122 = 54 cm² = 15 · 7,22

Eredménym_c = 7,2 cm

Magasságtétel: ha az átfogó szeleteit ismered

Az átfogóhoz tartozó magasság talppontja két részre osztja az átfogót. Ezeket szokás p-vel és q-val jelölni (p + q = c). A magasságtétel szerint a magasság ezek mértani közepe:

Magasságtételm_c² = p · qA tétel abból következik, hogy a magasság két, az eredetihez hasonló derékszögű háromszögre bontja az alakzatot.

A szeletek külön-külön is kiszámolhatók a befogókból: p = a²c és q = b²c. A fenti 9–12–15 háromszögben ez p = 8115 = 5,4 cm és q = 14415 = 9,6 cm – a szorzatuk 51,84, aminek a gyöke pontosan 7,2.

Kidolgozott példa · Az átfogó szeletei: p = 4 cm, q = 9 cm

Mekkora a magasság, az átfogó és a két befogó?

A magasságtétel szerint:m_c = √4 · 9 = √36 = 6 cm
Az átfogó a két szelet összege:c = 4 + 9 = 13 cm
A befogókhoz a befogótétel kell (a² = p · c):a = √4 · 13 = √52 = 7,21 cm
És a másik befogó:b = √9 · 13 = √117 = 10,82 cm

Eredménym_c = 6 cm, c = 13 cm, a befogók 7,21 cm és 10,82 cm.

Melyik magasság mekkora – összefoglaló

A három magasság a 9–12–15 cm-es derékszögű háromszögben
Magasság	Képlet	Érték
m_a (az a befogóhoz)	m_a = b	12 cm
m_b (a b befogóhoz)	m_b = a	9 cm
m_c (az átfogóhoz)	m_c = a · bc	7,2 cm

Jól látszik a szabály: a leghosszabb oldalhoz tartozik a legrövidebb magasság. Derékszögű háromszögben mindig az átfogó a leghosszabb oldal, tehát m_c mindig a legkisebb a három közül. Ha ez nálad nem így jött ki, keresd a hibát. Az általános esetről a háromszög magasságának kiszámítása oldalon olvashatsz.

Gyors önellenőrzés

Egy derékszögű háromszög befogói 5 cm és 12 cm. Mekkora az átfogóhoz tartozó magasság?

Az átfogó 13 cm, így m_c = 5 · 1213 = 6013 ≈ 4,62 cm.

Mekkora a 6 cm-es befogóhoz tartozó magasság, ha a másik befogó 8 cm?

Pontosan 8 cm: a befogóhoz tartozó magasság maga a másik befogó, mert a két befogó merőleges egymásra.

Lehet-e az átfogóhoz tartozó magasság hosszabb valamelyik befogónál?

Nem. Az m_c = a · bc képletben c nagyobb mindkét befogónál, ezért az eredmény kisebb lesz a-nál is és b-nél is.

Gyakori kérdések

Hogyan számolom ki a derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságát?

A két befogó szorzatát oszd el az átfogóval: m_c = a · bc. Ha az átfogó nincs megadva, előbb számold ki Pitagorasz-tétellel.

Miért magasság a befogó?

Mert a magasság merőleges szakasz a szemközti oldalra, a két befogó pedig derékszöget zár be. Az a oldalhoz tartozó magasság így pontosan a b befogó, és fordítva.

Mit mond ki a magasságtétel?

Azt, hogy az átfogóhoz tartozó magasság négyzete egyenlő az átfogón keletkező két szelet szorzatával: m_c² = p · q. Ez a hasonlóságból következik, mert a magasság két, az eredetihez hasonló háromszöget vág le.

Hogyan kapom meg az átfogó két szeletét?

A befogótétellel: p = a²c és q = b²c. Ellenőrzésül a kettő összege ki kell adja az átfogót.

Mekkora a terület, ha csak az átfogót és a hozzá tartozó magasságot tudom?

A szokásos képlettel: T = c · m_c2. Egy 15 cm-es átfogóhoz tartozó 7,2 cm-es magasság esetén ez 54 cm².