Területszámítás
Derékszögű háromszög területének kiszámítása
Itt nem kell magasságot keresni: a két befogó merőleges egymásra, tehát egyik a másik magassága. Minden más eset erre az egy képletre vezethető vissza.
Röviden a válasz
Derékszögű háromszög területe a két befogó szorzatának a fele: T = a · b2. Az átfogó nem szerepel a képletben.
Ha az átfogót és az egyik befogót ismered, előbb Pitagorasz-tétellel számold ki a másik befogót, és utána szorozz. Ha szöget kaptál, a hiányzó befogó szögfüggvénnyel jön ki: b = a · tg β, ahol β az a befogón fekvő hegyesszög.
Derékszögű háromszög terület kalkulátor
Két adat elég: két befogó, befogó és átfogó, vagy egy oldal és egy hegyesszög.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Miért elég a két befogó?
A területképlet mindig oldal szorozva a hozzá tartozó magassággal, felezve. Derékszögű háromszögben viszont a két befogó merőleges egymásra, tehát az egyik befogó pontosan a másikhoz tartozó magasság. Nem kell külön magasságot számolni – ezért a legegyszerűbb esettel van dolgod.
Szemléletesen: két egyforma derékszögű háromszögből mindig kirakható egy téglalap, amelynek az oldalai éppen a befogók. A háromszög ennek a téglalapnak a fele – innen a kettővel osztás.
Kidolgozott példa · Befogók: 9 cm és 12 cm
Mekkora a háromszög területe?
- A két befogó szorzata:9 · 12 = 108
- Ennek a fele a terület:T = 1082 = 54 cm2
EredményT = 54 cm²
Ha az átfogót ismered, nem a második befogót
Ez a feladattípus mindig két lépés: Pitagorasz-tétel, majd területképlet. A hiányzó befogó b = √c2 − a2.
Kidolgozott példa · Átfogó 13 cm, egyik befogó 5 cm
Mekkora a terület?
- A másik befogó a Pitagorasz-tételből:b = √132 − 52 = √169 − 25 = √144
- Vagyis:b = 12 cm
- Most már két befogónk van:T = 5 · 122 = 30 cm2
EredményT = 30 cm²
A kivonás iránya fontos: az átfogó négyzetéből vonod ki a befogóét, sosem fordítva. Ha a hiányzó oldal is átfogó lenne, összeadnál. Erről részletesen a derékszögű háromszög befogójának kiszámítása oldalon írunk.
Ha szöget kaptál adatnak
Egy oldal és egy hegyesszög is elég a területhez. Előbb a hiányzó oldalt hozod elő szögfüggvénnyel, utána jön a szokásos képlet.
Kidolgozott példa · Átfogó 20 cm, az egyik hegyesszög 30°
Mekkora a terület?
- A 30°-kal szemközti befogó:a = 20 · sin 30° = 20 · 0,5 = 10 cm
- A másik befogó:b = 20 · cos 30° = 20 · 0,8660 = 17,32 cm
- A terület:T = 10 · 17,322 = 86,60 cm2
EredményT = 86,60 cm²
Az átfogóhoz tartozó magasság
Néha nem a területet kérdezik, hanem az átfogóhoz tartozó magasságot – de a kettő ugyanabból az egyenletből jön. A terület kétféleképpen is felírható:
A 9-12-15 cm oldalú háromszögnél például mc = 9 · 1215 = 7,2 cm. Ellenőrzésnek jó: T = 15 · 7,22 = 54 cm², ugyanaz, mint befogókból.
| Ismert adatok | Első lépés | Terület |
|---|---|---|
| Két befogó | nincs | T = a · b2 |
| Átfogó és egy befogó | b = √c2 − a2 | T = a · b2 |
| Befogó és a rajta fekvő hegyesszög | b = a · tg β | T = a2 · tg β2 |
| Átfogó és hegyesszög | a = c · sin α | T = c2 · sin α · cos α2 |
| Átfogó és a hozzá tartozó magasság | nincs | T = c · mc2 |
Gyors önellenőrzés
Egy derékszögű háromszög befogói 6 cm és 7 cm. Mekkora a területe?
A terület 24 cm², az egyik befogó 6 cm. Mekkora a másik befogó?
Egyenlő szárú derékszögű háromszög befogója 10 cm. Mekkora a területe?
Gyakori kérdések
Hogyan kell kiszámítani a derékszögű háromszög területét?
Szorozd össze a két befogót, és oszd el kettővel: T = a · b2. A befogók a derékszöget közrefogó oldalak, az átfogó nem szerepel a képletben.
Mi van, ha csak az átfogót és az egyik befogót ismerem?
Számold ki a másik befogót Pitagorasz-tétellel (b = √c2 − a2), és utána használd a szokásos képletet. Például 13 cm átfogó és 5 cm befogó esetén a másik befogó 12 cm, a terület 30 cm².
Hogyan számolom a derékszögű háromszög oldalait, ha csak szögeket és egy oldalt tudok?
Szögfüggvényekkel: a szöggel szemközti befogó c · sin α, a mellette lévő c · cos α, a két befogó viszonya pedig b = a · tg β, ahol β az a befogón fekvő szög (a b-vel szemközti). Ezekből minden hiányzó oldal előáll.
A derékszögű háromszögnek van magassága is?
Három is. Két magassága maga a két befogó, a harmadik pedig az átfogóhoz tartozik: mc = a · bc. A területhez elég a két befogó.
Miért osztunk kettővel a képletben?
Mert két egybevágó derékszögű háromszögből pontosan egy téglalap rakható ki, amelynek oldalai a befogók. A háromszög ennek a téglalapnak a fele.