Derékszögű háromszög magasságvonala – hol húzódik?

Q: Mennyi a derékszögű háromszög magassága az átfogóhoz?

A két befogó szorzata osztva az átfogóval: mc = (a · b)/(c). Például 6 és 8 cm-es befogóknál mc = (48)/(10) = 4,8 cm.

Derékszögű háromszög kalkulátor

Két adat elég – az átfogóhoz tartozó magasságot is megkapod. A derékszög a C csúcsnál van.

azonnal számol

Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.

Példa:

a oldal: –
b oldal: –
c oldal: –
Felszín: –
β szög: –
Terület: –
Kerület: –
m_c magasság: –
Köré írt kör sugara R: –
Beírt kör sugara r: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

Magasságvonal és magasság – nem ugyanaz

A magasságvonal egy egyenes: átmegy az egyik csúcson, és merőleges a szemközti oldal egyenesére. A magasság ennek az egyenesnek az a szakasza, amely a csúcstól a talppontig tart – ennek van hossza, ezzel számolsz. Feladatokban a „magasságvonal” szó általában a szerkesztésre, a „magasság” a számolásra utal.

Hol húzódik a három magasságvonal?

Legyen a derékszög a C csúcsnál, így c az átfogó, a és b a befogók. A két befogó merőleges egymásra, tehát:

Az a oldalhoz tartozó magasságvonal maga a b befogó egyenese, és m_a = b.
A b oldalhoz tartozó magasságvonal maga az a befogó egyenese, és m_b = a.
Az átfogóhoz tartozó magasságvonal a C csúcsból indul, és merőlegesen metszi a c oldalt – ezt kell ténylegesen megszerkeszteni vagy kiszámolni.

A 6 – 8 – 10 háromszögben csak az átfogóhoz tartozó magasságvonalat kell megrajzolni; a másik kettő a befogókon fut.

Az átfogóhoz tartozó magasság hossza

A terület kétféleképp is felírható: a két befogóból (T = a · b2) és az átfogóból a hozzá tartozó magassággal (T = c · m_c2). A kettő ugyanaz a szám, ezért:

Az átfogóhoz tartozó magasságm_c = a · bcA két befogó szorzata osztva az átfogóval. A képlet minden derékszögű háromszögre igaz.

Kidolgozott példa · Befogók 6 cm és 8 cm

Mekkora az átfogóhoz tartozó magasság, és hol a talppontja?

Az átfogó Pitagorasz-tétellel:c = √6² + 8² = √100 = 10 cm
A magasság a befogók szorzatából:m_c = 6 · 810 = 4,8 cm
A talppont az átfogót két részre vágja. A befogótétel szerint az egyik szelet:p = a²c = 3610 = 3,6 cm
A másik szelet:q = b²c = 6410 = 6,4 cm

Eredménym_c = 4,8 cm, a talppont az átfogót 3,6 cm és 6,4 cm hosszú részre osztja

A magasságvonal és a magasságtétel

Az átfogóhoz tartozó magasságvonal két hasonló derékszögű háromszögre bontja az eredetit, és mindkét darab hasonló az eredetihez is. Ebből a hasonlóságból következik a magasságtétel:

Magasságtételm_c² = p · qItt p és q az átfogónak a talppont által létrehozott két szelete.

Ellenőrizd a fenti példán: √3,6 · 6,4 = √23,04 = 4,8 cm – pontosan a kiszámolt magasság. A tétel bizonyítását és további feladatokat a derékszögű háromszög magasságtétel oldalon találsz.

A szerkesztés menete egyszerű: állíts merőlegest az átfogóra a C csúcsból körzővel. A lépéseket a háromszög magasságvonal szerkesztése oldal írja le, a többi nevezetes vonalhoz pedig a háromszög nevezetes vonalai oldal vezet.

Gyors önellenőrzés

Hol metszi egymást a derékszögű háromszög három magasságvonala?

A derékszög csúcsában. Két magasságvonal ugyanis a két befogó, ezek pedig épp ott találkoznak.

Egy derékszögű háromszög befogói 5 cm és 12 cm. Mekkora az átfogóhoz tartozó magasság?

Az átfogó √25 + 144 = 13 cm, így m_c = 5 · 1213 = 4,62 cm.

Melyik a leghosszabb magasság egy derékszögű háromszögben?

A hosszabbik befogó, hiszen az a rövidebb befogóhoz tartozó magasság. Az átfogóhoz tartozó magasság mindig a legrövidebb, mert az átfogó a leghosszabb oldal.

Gyakori kérdések

Hol van a derékszögű háromszög magasságvonala?

Kettő közülük egybeesik a két befogóval, mert azok merőlegesek egymásra. A harmadik a derékszög csúcsából indul, és merőlegesen érkezik az átfogóra.

Mennyi a derékszögű háromszög magassága az átfogóhoz?

A két befogó szorzata osztva az átfogóval: m_c = a · bc. Például 6 és 8 cm-es befogóknál m_c = 4810 = 4,8 cm.

Hol van a derékszögű háromszög magasságpontja?

Pontosan a derékszög csúcsában, tehát a C pontban. Ez a háromszög egyik csúcsa, nem belső pont.

Mi a különbség a magasságvonal és a magasság között?

A magasságvonal egy egyenes, amely a csúcson át merőleges a szemközti oldalra. A magasság ennek az egyenesnek a csúcstól a talppontig tartó szakasza, illetve annak hossza.

Mit mond a magasságtétel?

Az átfogóhoz tartozó magasság négyzete egyenlő az átfogó két szeletének szorzatával: m_c² = p · q. A 6 – 8 – 10 háromszögben 4,8² = 3,6 · 6,4 = 23,04.