Oldalak kiszámítása
Derékszögű háromszög átfogójának kiszámítása
Nem mindig két befogót kapsz. Ez az oldal öt tipikus adatpárt vesz sorra, és mindegyikhez megmutatja, melyik képlet a legrövidebb út az átfogóhoz.
Röviden a válasz
Ha a két befogó ismert, az átfogó a Pitagorasz-tételből jön: c = √a2 + b2. Például 9 cm és 12 cm befogóval c = √81 + 144 = √225 = 15 cm.
Ha befogó és szög van megadva, szögfüggvény kell: a szöggel szemközti befogóból c = asin α, a szög melletti befogóból c = bcos α. A háromszög köré írt kör sugarával pedig c = 2R, mert az átfogó mindig átmérő.
Átfogó kalkulátor
Bármelyik két adat elég: két befogó, befogó és szög, vagy átfogó és befogó – az átfogó kiemelve jelenik meg.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mikor melyik képlet kell?
Az átfogó a derékszöggel szemközti oldal, a jelölés szerint c. Hogy melyik képlettel jutsz el hozzá, kizárólag attól függ, mit adott meg a feladat:
Átfogó két befogóból
A Pitagorasz-tétel azt mondja: a befogók négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével. Az átfogóhoz tehát négyzetre emelsz, összeadsz, gyököt vonsz – ebben a sorrendben.
Kidolgozott példa · a = 9 cm, b = 12 cm
Mekkora az átfogó?
- Írjuk fel a Pitagorasz-tételt:c2 = a2 + b2
- Emeljünk négyzetre és adjunk össze:c2 = 81 + 144 = 225
- Gyököt vonva:c = √225 = 15 cm
Eredményc = 15 cm. Ez a 3 – 4 – 5 hármas háromszorosa, ezért lett ilyen szép a végeredmény.
Átfogó befogóból és szögből
Ha csak egy befogót kapsz, mellé egy hegyesszöget, akkor szögfüggvény kell. A döntés egyetlen kérdésen múlik: a megadott befogó szemközt van a szöggel, vagy mellette?
| A megadott befogó helyzete | Összefüggés | Az átfogó |
|---|---|---|
| Szemközt a szöggel | sin α = ac | c = asin α |
| A szög mellett | cos α = bc | c = bcos α |
Kidolgozott példa · Befogó 12 cm, a vele szemközti szög 30°
Mekkora az átfogó?
- A szinusz definíciója szerint a szemközti befogó és az átfogó hányadosa:sin 30° = 12c
- Fejezzük ki az átfogót:c = 12sin 30° = 120,5
- Az osztást elvégezve:c = 24 cm
Eredményc = 24 cm – a 30°-os szöggel szemközti befogó mindig pontosan az átfogó fele.
Kidolgozott példa · Befogó 15 cm, a mellette lévő szög 40°
Mekkora az átfogó?
- Most a befogó a szög melletti, ezért koszinusz kell:cos 40° = 15c
- Kifejezve:c = 15cos 40° = 150,766
- Az osztás eredménye:c = 19,58 cm
Eredményc = 19,58 cm
Átfogó területből és a köré írt körből
Derékszögű háromszögben a terület a két befogóból számolható: T = a · b2. Ha tehát a területet és az egyik befogót ismered, a másik befogó b = 2 · Ta, onnan pedig már a Pitagorasz-tétel következik.
Kidolgozott példa · T = 84 cm², az egyik befogó 7 cm
Mekkora az átfogó?
- A területképletből a másik befogó:b = 2 · 847 = 24 cm
- Most jöhet a Pitagorasz-tétel:c2 = 72 + 242 = 49 + 576 = 625
- Gyököt vonva:c = 25 cm
Eredményc = 25 cm (a 7 – 24 – 25 pitagoraszi számhármas).
A Thalész-tétel miatt a derékszögű háromszög köré írt körének középpontja az átfogó felezőpontja, vagyis az átfogó a kör átmérője: c = 2R. Ha tehát a feladat a köré írt kör sugarát adja meg, az átfogó egyetlen szorzás. A befogókról és a köztük lévő kapcsolatról a befogó és átfogó oldalon olvashatsz bővebben.
Gyors önellenőrzés
Mekkora az átfogó, ha a befogók 20 és 21 cm?
Egy derékszögű háromszög köré írt körének sugara 6,5 cm. Mekkora az átfogó?
Az egyik hegyesszög 60°, a mellette lévő befogó 8 cm. Mekkora az átfogó?
Gyakori kérdések
Hogyan kell kiszámítani a derékszögű háromszög átfogóját?
Két befogóból Pitagorasz-tétellel: c = √a2 + b2. Emeld négyzetre a befogókat, add össze őket, és vonj gyököt az összegből. Például 9 és 12 cm esetén c = 15 cm.
Mi a képlet, ha csak egy befogót és egy szöget ismerek?
Ha a befogó a szöggel szemközt van, c = asin α; ha a szög mellett, c = bcos α. Mindkét esetben osztasz, mert az átfogó a leghosszabb oldal.
Melyik oldal az átfogó?
A derékszöggel szemközti oldal, jelölése c, ha a derékszög a C csúcsnál van. Ez egyben a háromszög leghosszabb oldala, mert a legnagyobb szöggel áll szemben.
Ki lehet-e számolni az átfogót a területből?
Igen, ha az egyik befogót is tudod. A T = a · b2 képletből a másik befogó b = 2 · Ta, utána jöhet a Pitagorasz-tétel. Például T = 84 cm² és a = 7 cm esetén c = 25 cm.
Miért egyezik meg az átfogó fele a köré írt kör sugarával?
A Thalész-tétel szerint a kör átmérője fölé rajzolt kerületi szög derékszög. Megfordítva: a derékszögű háromszög átfogója átmérő, így R = c2, és az átfogó felezőpontja a kör középpontja.