Tételek
Derékszögű háromszög magasságtétele
Egyetlen szorzat és egy gyökvonás: ha az átfogó két szelete ismert, a magasság azonnal megvan – és fordítva is működik.
Röviden a válasz
A magasságtétel szerint derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság négyzete egyenlő az átfogó két szeletének szorzatával: m2 = p · q, azaz m = √p · q.
Szavakban: a magasság a két szelet mértani közepe. A p és q az a két darab, amelyre a magasság talppontja az átfogót osztja, és p + q = c.
Magasság kalkulátor derékszögű háromszöghöz
Adj meg két adatot – az átfogóhoz tartozó magasságot is kiszámoljuk, a szeletek pedig p = a²/c és q = b²/c.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A tétel pontos alakja
A derékszög csúcsából induló magasság merőlegesen érkezik az átfogóra, és a talppontja két részre vágja azt. Ezt a két darabot nevezzük szeleteknek: p és q. A magasságtétel ezt a három hosszúságot köti össze.
Miért igaz? – két hasonló háromszög
A magasság két kisebb derékszögű háromszögre bontja az alakzatot, és ez a kettő egymáshoz is hasonló: mindkettőben van derékszög, a hegyesszögeik pedig ugyanazok, csak felcserélt szerepben (a két hegyesszög összege 90°).
A bal oldali darabban a befogók p és m, a jobb oldaliban m és q. A megfelelő oldalak aránya: pm = mq. Szorozz keresztbe, és megkapod, hogy m2 = p · q. A gondolatmenet hátterét a háromszög hasonlóság oldalon találod.
Feladat: szeletekből magasság
Kidolgozott példa · Az átfogó szeletei: p = 2 cm és q = 8 cm
Mekkora a magasság, az átfogó és a háromszög területe?
- A magasságtétel közvetlenül ad választ:m = √2 · 8 = √16 = 4 cm
- Az átfogó a két szelet összege:c = 2 + 8 = 10 cm
- A terület az átfogóval és a hozzá tartozó magassággal:T = 10 · 42 = 20 cm2
Eredménym = 4 cm, c = 10 cm, T = 20 cm².
Feladat visszafelé: magasságból szeletek
Ha az átfogót és a magasságot ismered, a két szelet összegét és szorzatát is tudod – ez pedig egy másodfokú egyenlethez vezet.
Kidolgozott példa · Az átfogó 10 cm, a hozzá tartozó magasság 4,8 cm
Mekkorák a szeletek és a befogók?
- A szeletek összege az átfogó, szorzatuk a magasság négyzete:p + q = 10 és p · q = 4,82 = 23,04
- Ezek egy másodfokú egyenlet gyökei:x2 − 10x + 23,04 = 0
- A diszkrimináns és a gyökök:x = 10 ± √100 − 92,162 = 10 ± 2,82
- Vagyis a két szelet:p = 3,6 cm és q = 6,4 cm
- A befogók a befogótétellel:a = √3,6 · 10 = 6 cm, b = √6,4 · 10 = 8 cm
EredményA szeletek 3,6 cm és 6,4 cm, a befogók 6 cm és 8 cm.
| Mennyiség | Képlet | Érték |
|---|---|---|
| p szelet | p = a2c | 3,6 cm |
| q szelet | q = b2c | 6,4 cm |
| m magasság (magasságtétel) | m = √p · q | 4,8 cm |
| m magasság (területből) | m = a · bc | 4,8 cm |
A két utolsó sor ugyanazt adja – ez jó önellenőrzés. A területből induló számolás részletei a derékszögű háromszög magassága oldalon szerepelnek.
Mértani közép szerkesztése a magasságtétellel
A tétel klasszikus alkalmazása: két adott szakasz mértani közepének megszerkesztése, vagyis √p · q előállítása vonalzóval és körzővel. Ehhez csak egy Thalész-kör kell.
A szerkesztés menete (p = 2 cm, q = 8 cm)
- Mérd fel egy egyenesre egymás után a két szakaszt: az AT rész 2 cm, a TB rész 8 cm, így AB = 10 cm.
- Felezd meg az AB szakaszt, és rajzolj fölé kört ezzel a középponttal – ez a Thalész-kör.
- Állíts merőlegest a T pontban az AB egyenesére.
- A merőleges és a kör metszéspontja legyen C. A TC szakasz a keresett mértani közép, hossza 4 cm.
- Az ABC háromszög a Thalész-tétel miatt derékszögű, TC pedig épp az átfogóhoz tartozó magassága – ezért igaz rá a magasságtétel.
Gyors önellenőrzés
Az átfogó szeletei 5 cm és 20 cm. Mekkora a magasság?
A magasság 6 cm, az egyik szelet 4 cm. Mekkora a másik szelet és az átfogó?
Lehet-e az átfogóhoz tartozó magasság nagyobb az átfogó felénél?
Gyakori kérdések
Mit mond ki a magasságtétel?
Azt, hogy derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság négyzete egyenlő az átfogó két szeletének szorzatával: m2 = p · q. A magasság tehát a két szelet mértani közepe.
Mi a különbség a magasságtétel és a befogótétel között?
A magasságtételben a magasság négyzete a két szelet szorzata, a befogótételben pedig a befogó négyzete a saját szeletének és a teljes átfogónak a szorzata. Ha a képletben szerepel az átfogó, befogótételről van szó.
Hogyan számolom ki a szeleteket, ha az átfogót és a magasságot ismerem?
A két szelet összege az átfogó, szorzata a magasság négyzete. Ezekből másodfokú egyenlet írható fel: x2 − c · x + m2 = 0, aminek a két gyöke épp p és q.
Miért igaz a magasságtétel?
Mert a magasság két olyan derékszögű háromszögre bontja az alakzatot, amelyek hasonlók egymáshoz. A megfelelő oldalak aránya pm = mq, ebből keresztszorzással adódik a tétel.
Mire jó a magasságtétel a szerkesztésben?
Két szakasz mértani közepének, vagyis √p · q hosszúságú szakasznak a megszerkesztésére. Egymás után felmért szakaszok fölé Thalész-kört rajzolsz, és az osztópontban emelt merőleges metszi ki a keresett hosszúságot.