Derékszögű háromszög számítás lépésről lépésre

Q: Hogyan megy a derékszögű háromszög átfogó számítás?

Két befogóból c = √(a² + b²). Ha befogó és szög ismert, akkor c = (a)/(sin α), ahol α az a befogóval szemközti szög.

Q: Hogyan számolom ki a derékszögű háromszög területét?

A két befogó szorzatának a fele: T = (a · b)/(2). Ha csak az átfogót és egy szöget ismersz, előbb számold ki a befogókat szögfüggvénnyel.

Q: Hogyan kapom meg a hegyesszögeket?

Két befogóból tangenssel: α = tg^(-1)((a)/(b)). Átfogó és befogó esetén szinusszal vagy koszinusszal. A második hegyesszög mindig 90° mínusz az első.

Derékszögű háromszög számítás

Két adat elég. Ellenőrizd vele, amit papíron kiszámoltál.

azonnal számol

Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.

Példa:

a oldal: –
b oldal: –
c oldal: –
Felszín: –
β szög: –
Terület: –
Kerület: –
m_c magasság: –
Köré írt kör sugara R: –
Beírt kör sugara r: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

A számítás sorrendje

Így haladj végig egy derékszögű háromszögön

Írd fel, mit tudsz, és rajzolj ábrátJelöld be, hol van a derékszög. Az átfogó mindig vele szemközt van, és mindig a leghosszabb oldal.
Egészítsd ki az oldalakatKét oldalból a harmadik Pitagorasz-tétellel jön: c = √a² + b² vagy b = √c² − a².
Számold ki a szögeketKét oldalból inverz szögfüggvénnyel. Ha az egyik hegyesszög megvan, a másik 90° mínusz az első.
Végül a származtatott adatokTerület, kerület, az átfogóhoz tartozó magasság, a beírt és a köré írt kör sugara.

Végigszámolt példa: két befogóból minden adat

Kidolgozott példa · Befogók: a = 8 cm, b = 15 cm

Számold ki az átfogót, a két hegyesszöget, a területet, a kerületet és az átfogóhoz tartozó magasságot!

1. Átfogó – Pitagorasz-tétel:c = √8² + 15² = √64 + 225 = √289 = 17 cm
2. Az α szög – két befogó ismert, tehát tangens:tg α = 815 = 0,5333 → α = 28,07°
3. A β szög – kiegészítés:β = 90° − 28,07° = 61,93°
4. Terület – a két befogóból:T = 8 · 152 = 60 cm²
5. Kerület – a három oldal összege:K = 8 + 15 + 17 = 40 cm
6. Magasság az átfogóhoz – a területet kétféleképp írjuk fel:m_c = 8 · 1517 = 7,06 cm

Eredményc = 17 cm, α = 28,07°, β = 61,93°, T = 60 cm², K = 40 cm, m_c = 7,06 cm

Ha kell, a két körsugár is egy sor: R = c2 = 8,5 cm (a köré írt köré, mert az átfogó a kör átmérője), a beírt köré pedig r = a + b − c2 = 8 + 15 − 172 = 3 cm.

Ha oldal helyett szöget kapsz

A sorrend ugyanaz, csak a második lépésben nem Pitagorasz-tétel, hanem szögfüggvény szerepel. Az átfogóból induló számítás a legegyszerűbb, mert mindkét befogó egy szorzással megvan.

Kidolgozott példa · Átfogó c = 14 cm, α = 25°

Mekkora a két befogó és a háromszög területe?

Az α-val szemközti befogó:a = c · sin α = 14 · 0,4226 = 5,92 cm
Az α melletti befogó:b = c · cos α = 14 · 0,9063 = 12,69 cm
A terület a két befogóból:T = 5,92 · 12,692 = 37,56 cm²
Ellenőrzés Pitagorasz-tétellel:5,92² + 12,69² = 35,05 + 161,04 = 196,09 ~ 14²

Eredménya = 5,92 cm, b = 12,69 cm, T = 37,56 cm²

Melyik képlet melyik adathoz

Összefoglaló: derékszögű háromszög adatai
Keresett adat	Képlet	Mihez kell
Átfogó	c = √a² + b²	két befogó
Befogó	b = √c² − a²	átfogó és egy befogó
Befogó szögből	a = c · sin α	átfogó és egy hegyesszög
Hegyesszög	α = tg^-1(ab)	két befogó
Terület	T = a · b2	két befogó
Kerület	K = a + b + c	mindhárom oldal
Magasság az átfogóhoz	m_c = a · bc	mindhárom oldal

A teljes eszköztár és minden bemeneti kombináció a derékszögű háromszög kalkulátor oldalon van; a szögfüggvények mögötti gondolatot pedig a szögfüggvények oldal magyarázza el.

Gyors önellenőrzés

Egy derékszögű háromszög befogói 20 cm és 21 cm. Mekkora az átfogó?

c = √400 + 441 = √841 = 29 cm. Ez is pitagoraszi számhármas: 20-21-29.

Miért nem lehet a magasság az átfogóhoz nagyobb, mint a befogók?

Mert m_c = a · bc, és c nagyobb a-nál is és b-nél is. Így az osztás eredménye mindkét befogónál kisebb szám.

A terület 60 cm², az egyik befogó 15 cm. Mekkora a másik?

b = 2 · 6015 = 8 cm.

Gyakori kérdések

Milyen sorrendben számoljam ki a derékszögű háromszög adatait?

Először az oldalakat (Pitagorasz-tétellel vagy szögfüggvénnyel), utána a szögeket, végül a területet, kerületet és a magasságot. Ebben a sorrendben minden lépéshez már megvan az összes szükséges adat.

Hogyan megy a derékszögű háromszög átfogó számítás?

Két befogóból c = √a² + b². Ha befogó és szög ismert, akkor c = asin α, ahol α az a befogóval szemközti szög.

Hogyan számolom ki a derékszögű háromszög területét?

A két befogó szorzatának a fele: T = a · b2. Ha csak az átfogót és egy szöget ismersz, előbb számold ki a befogókat szögfüggvénnyel.

Hogyan kapom meg a hegyesszögeket?

Két befogóból tangenssel: α = tg^-1(ab). Átfogó és befogó esetén szinusszal vagy koszinusszal. A második hegyesszög mindig 90° mínusz az első.

Mennyi lehet a kerekítési eltérés?

Ha két tizedesjegyre kerekített értékekkel számolsz tovább, néhány század eltérés normális. A dolgozatban ezért érdemes a számológép memóriájában tartani a pontos értéket, és csak a végeredményt kerekíteni.