Szögszámítás
A derékszögű háromszög szögei
Egy szöget ingyen kapsz: a 90°-ot. A maradék kettő egymás kiegészítője, és két oldalból szögfüggvénnyel bármelyik kiszámolható.
Röviden a válasz
A derékszögű háromszög három szöge: egy derékszög (90°) és két hegyesszög. Mivel a szögösszeg 180°, a két hegyesszög összege mindig 90°, vagyis egymás pótszögei: α + β = 90°.
Ha egy hegyesszöget ismersz, a másik kivonással jön: β = 90° − α. Ha csak oldalakat ismersz, szögfüggvénnyel számolsz, például sin α = ac.
Derékszögű háromszög szögei – kalkulátor
Írj be bármelyik két adatot (két oldalt vagy egy oldalt és egy szöget), és megkapod mindkét hegyesszöget.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A két hegyesszög összege 90°
A jelölés a szokásos: a derékszög a C csúcsnál van, tehát γ = 90°, a c oldal az átfogó, az a és b pedig a befogók. A 180°-os szögösszegből:
Egyik hegyesszögből a másik
Ez a legegyszerűbb feladattípus: ha az egyik hegyesszöget megadják, a másik egyetlen kivonás. Nem kell 180°-ból indulni, elég 90°-ból.
Például ha α = 31°, akkor β = 59°; ha α = 45°, akkor β = 45°, és a háromszög egyenlő szárú derékszögű. Ez az egyetlen derékszögű háromszög, amelyik egyben egyenlő szárú is.
Szögek kiszámítása két oldalból
Ha nem szöget, hanem két oldalt ismersz, szögfüggvény kell. Melyiket használd? Az dönti el, hogy melyik két oldal van a kezedben a keresett szöghöz képest.
| Amit ismersz | Képlet | Magyarul |
|---|---|---|
| A vele szemközti befogó és az átfogó | sin α = ac | szemközti osztva az átfogóval |
| A mellette fekvő befogó és az átfogó | cos α = bc | melletti osztva az átfogóval |
| A két befogó | tg α = ab | szemközti osztva a mellettivel |
A szöget innen az inverz függvénnyel kapod meg: a számológépen a sin-1, cos-1 vagy tg-1 gombbal. Ügyelj rá, hogy a gép fok (DEG) módban legyen.
Kidolgozott példa · Befogók: a = 5 cm, b = 12 cm
Mekkorák a háromszög hegyesszögei?
- Két befogó ismert, tehát tangenst használunk:tg α = ab = 512 = 0,4167
- Inverz tangens:α = tg-1 0,4167 = 22,62°
- A másik hegyesszög már csak kivonás:β = 90° − 22,62° = 67,38°
- Ellenőrzés:22,62° + 67,38° + 90° = 180°
Eredményα = 22,62° és β = 67,38°.
Kidolgozott példa · Befogó a = 8 cm, átfogó c = 17 cm
Mekkora a 8 cm-es befogóval szemközti szög?
- Szemközti befogó és átfogó ismert, tehát szinusz:sin α = ac = 817 = 0,4706
- Inverz szinusz:α = sin-1 0,4706 = 28,07°
- A pótszög:β = 90° − 28,07° = 61,93°
- A másik befogó Pitagorasszal ellenőrizhető:b = √172 − 82 = √225 = 15 cm
Eredményα = 28,07°, β = 61,93° – a háromszög a 8–15–17 oldalhármas.
A nevezetes oldalhármasok szögei
A feladatokban újra és újra ugyanaz a néhány egész oldalhosszú (pitagoraszi) hármas bukkan fel. Érdemes ismerni a hozzájuk tartozó szögeket, mert azonnal látszik, ha elszámoltál valamit.
| Oldalak (befogó – befogó – átfogó) | Kisebb hegyesszög | Nagyobb hegyesszög |
|---|---|---|
| 3 – 4 – 5 | 36,87° | 53,13° |
| 5 – 12 – 13 | 22,62° | 67,38° |
| 8 – 15 – 17 | 28,07° | 61,93° |
| 7 – 24 – 25 | 16,26° | 73,74° |
| 20 – 21 – 29 | 43,60° | 46,40° |
| Egyenlő szárú derékszögű | 45° | 45° |
Speciális derékszögű háromszögek
- A 45°–45°–90° háromszög a négyzet fele az átlója mentén. A két befogó egyenlő, az átfogó √2-szer hosszabb náluk.
- A 30°–60°–90° háromszög a szabályos háromszög fele. A 30°-kal szemközti befogó pontosan az átfogó fele – ez a felszabályos háromszög.
- Ha az egyik hegyesszög 60°, a másik automatikusan 30°, mert a kettő összege 90°.
Ellenőrizd magad
Gyors önellenőrzés
Egy derékszögű háromszög egyik hegyesszöge 27°. Mekkora a másik kettő?
Lehet-e egy derékszögű háromszögnek 90°-nál nagyobb szöge a derékszögön kívül?
Mekkora szöget zár be az a befogó az átfogóval, ha a = 9 cm és c = 15 cm?
Miért nem lehet egy derékszögű háromszög tompaszögű is?
Gyakori kérdések
Mekkorák a derékszögű háromszög szögei?
Az egyik szög mindig 90°, a másik kettő pedig együtt 90°-ot ad ki. Hogy pontosan mekkorák, azt az oldalak aránya dönti el: például az 5–12–13 háromszögben 22,62° és 67,38°.
Hogyan számolom ki a derékszögű háromszög szögeit oldalakból?
Két befogóból tangenssel (tg α = ab), befogóból és átfogóból szinusszal vagy koszinusszal. A szöget az inverz függvénnyel (sin⁻¹, cos⁻¹, tg⁻¹) kapod, a számológép DEG módjában.
Mennyi a derékszögű háromszög belső szögeinek összege?
180°, ugyanannyi, mint bármelyik másik háromszögben. Ebből 90° a derékszög, a maradék 90°-on osztozik a két hegyesszög.
Elég egyetlen szöget megadni a derékszögű háromszög szögeihez?
Igen. Egy hegyesszögből a másik 90° − α, a harmadik pedig a derékszög. Az oldalak hosszához viszont ezen felül még egy oldal is kell.
Melyik a legnagyobb szög a derékszögű háromszögben?
Mindig a derékszög, vagyis a 90°. Ezért a vele szemközti oldal, az átfogó a leghosszabb oldal.