Háromszög belső szögei – összeg, kiszámítás, példák

Q: Hogyan számolom ki a belső szögeket, ha csak az oldalak ismertek?

Koszinusztétellel: cos α = (b² + c² - a²)/(2 · b · c), majd ugyanígy a másik két szögre – vagy a harmadikat egyszerűen 180°-ból kivonva. A fenti kalkulátor pontosan ezt csinálja.

Belsőszög-kalkulátor

Add meg a három oldalt, vagy két szöget és egy oldalt – mindhárom belső szöget megkapod.

azonnal számol

Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.

Példa:

a oldal: –
b oldal: –
c oldal: –
Felszín: –
β szög: –
γ szög: –
Terület: –
Kerület: –
m_a magasság: –
m_b magasság: –
m_c magasság: –
Köré írt kör sugara R: –
Beírt kör sugara r: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

Mik a belső szögek, és miért éppen 180°?

A belső szög a háromszög egy csúcsánál a két odafutó oldal által bezárt szög, a háromszög belseje felé mérve. Az A csúcsnál lévőt α-val, a B-nél lévőt β-val, a C-nél lévőt γ-val jelöljük. Mivel három csúcs van, minden háromszögnek pontosan három belső szöge van.

A háromszög belső szögeinek összegeα + β + γ = 180°Érvényes minden háromszögre: hegyesszögűre, derékszögűre és tompaszögűre egyaránt.

A bizonyítás egyetlen segédvonalon múlik. Húzz a C csúcson át egy egyenest, amely párhuzamos a szemközti c oldallal. A párhuzamosokat metsző b oldal váltószögei egyenlők, tehát a segédegyenes egyik oldalán α jelenik meg újra; ugyanígy az a oldal váltószöge miatt a másik oldalán β. A C csúcsnál így α, γ és β együtt egy egyenesszöget tölt ki, ami 180°.

A három belső szög a három csúcsnál. Itt 72° + 53° + 55° = 180°.

A hiányzó belső szög kiszámítása

Ha két belső szöget ismersz, a harmadik egyetlen kivonás. Ez a leggyakoribb szögszámítási feladat 7. osztálytól az érettségiig.

Ha α-t és β-t ismeredγ = 180° − α − β

Ha β-t és γ-t ismeredα = 180° − β − γ

Ha α-t és γ-t ismeredβ = 180° − α − γ

Kidolgozott példa · α = 72°, β = 53°

Mekkora a harmadik belső szög, és milyen fajta ez a háromszög?

A két ismert szög összege:72° + 53° = 125°
A harmadik szög a 180°-ból ami marad:γ = 180° − 125° = 55°
Ellenőrzés visszafelé:72° + 53° + 55° = 180°

Eredményγ = 55°, és mivel mindhárom szög 90°-nál kisebb, a háromszög hegyesszögű.

Belső szögek a nevezetes háromszögtípusokban

A 180°-os szabály minden háromszögre ugyanaz, de bizonyos típusoknál a szögekről ennél többet is tudunk – és ilyenkor már egyetlen adatból kijön az összes szög.

Mit tudunk előre a belső szögekről?
Háromszög típusa	Amit előre tudunk a szögekről	Hány adat kell még?
Szabályos (egyenlő oldalú)	Mindhárom szög 60°	Egy sem – a szögek adottak
Egyenlő szárú	A két alapon fekvő szög egyenlő	Egyetlen szög
Derékszögű	Az egyik szög 90°, a másik kettő összege 90°	Egyetlen hegyesszög
Egyenlő szárú derékszögű	90°, 45°, 45°	Egy sem
Tompaszögű	Az egyik szög 90°-nál nagyobb	Két szög
Általános	Csak annyi, hogy az összeg 180°	Két szög

A derékszögű eset azért kiemelten fontos, mert ott a maradék két szög összege mindig 90°: ezekről külön oldalon írunk, lásd a derékszögű háromszög szögei anyagot.

Kidolgozott példa · Egyenlő szárú háromszög, szárszög = 44°

Mekkorák az alapon fekvő szögek?

Az alapon fekvő két szög egyenlő, jelöljük mindkettőt β-val. A szögösszeg:44° + β + β = 180°
A két egyenlő szögre marad:2β = 180° − 44° = 136°
Innen egyetlen osztás:β = 136°2 = 68°

EredményAz alapon fekvő szögek 68°-osak, a háromszög szögei tehát 44°, 68° és 68°.

Belső és külső szögek együtt

Minden belső szögnek megvan a külső szög párja: az, amelyiket az oldal meghosszabbítása zár be a szomszédos oldallal. A kettő együtt egyenesszöget alkot, ezért a képlet nagyon egyszerű:

Egy csúcsnálbelső szög + külső szög = 180°Vagyis a külső szög mindig a belső 180°-ra való kiegészítése.

Az A csúcsnál az α belső szög és az α külső szöge együtt 180°.

Mivel három belső szög van és mindegyikhez tartozik egy külső, a három külső szög összege 3 · 180° − 180° = 360°. Erről részletesen a háromszög külső szögeinek összege oldalon olvashatsz.

Melyik szög melyik oldallal szemben van?

A jelölés kötött: az α szög az A csúcsnál van, és az a oldallal szemközt. Ebből következik a szögszámítás egyik legjobban használható ellenőrzése: a nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van, és fordítva. Ha egy feladatban a leghosszabb oldalhoz a legkisebb szöget számoltad ki, biztosan hiba van a megoldásban.

Ugyanez adja, hogy a derékszögű háromszög legnagyobb oldala mindig az átfogó: a 90°-os szög a legnagyobb, tehát a vele szemközti oldal a leghosszabb.

Kidolgozott példa · A szögek aránya 2 : 3 : 5

Mekkorák a belső szögek, és milyen fajta a háromszög?

Egy aránylépés legyen x, ekkor a szögek 2x, 3x és 5x. Az összegük 180°:2x + 3x + 5x = 180°
Összevonva:10x = 180° → x = 18°
A három szög:2 · 18° = 36°, 3 · 18° = 54°, 5 · 18° = 90°

EredményA szögek 36°, 54° és 90°, tehát a háromszög derékszögű.

Ellenőrizd magad

Gyors önellenőrzés

Egy háromszög két belső szöge 41° és 96°. Mekkora a harmadik?

180° − 41° − 96° = 43°. Mivel az egyik szög 96°, a háromszög tompaszögű.

Lehet-e egy háromszögnek két tompaszöge?

Nem. Két tompaszög összege már önmagában több mint 180°, így a harmadik szögre nem maradna hely.

Egy egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szöge 70°. Mekkora a szárszög?

A két alapon fekvő szög együtt 140°, tehát a szárszög 180° − 140° = 40°.

Melyik a legnagyobb szög abban a háromszögben, ahol a = 9 cm, b = 6 cm, c = 4 cm?

Az α, mert a leghosszabb oldal az a, és a nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van.

Derékszögű háromszög szögeiA két hegyesszög összege 90° – és oldalakból is kiszámolható mindkettő.A háromszög külső szögeiMi a külső szög, hol van belőle kettő egy csúcsnál, és mire jó a külsőszög-tétel.A belső szögek összegeA 180°-os szabály és a bizonyítása, lépésről lépésre.Egyenlő szárú háromszög szögeiSzárszög és alapon fekvő szögek: egyetlen adatból mind a három.

Gyakori kérdések

Mennyi a háromszög belső szögeinek összege?

Pontosan 180°, minden háromszögben. Ez független attól, hogy a háromszög hegyesszögű, derékszögű vagy tompaszögű, és a méretétől is.

Mekkorák a derékszögű háromszög belső szögei?

Az egyik szög 90°, a másik kettő pedig együtt szintén 90°-ot ad ki, tehát mindkettő hegyesszög. Ha az egyik hegyesszög például 32°, a másik 90° − 32° = 58°.

Mekkorák az egyenlő szárú háromszög belső szögei?

A két száron fekvő, vagyis az alapon lévő szög egyenlő. Ha a szárszög α, akkor az alapon fekvő szögek 180° − α2 nagyságúak. Fordítva: ha az alapon fekvő szög β, a szárszög 180° − 2β.

Mi a különbség a háromszög belső és külső szögei között?

A belső szög a háromszögön belül, két oldal között helyezkedik el. A külső szög ugyanannál a csúcsnál az oldal meghosszabbítása és a szomszédos oldal között van. Együtt 180°-ot adnak, ezért a külső szögek összege 360°.

Hogyan számolom ki a belső szögeket, ha csak az oldalak ismertek?

Koszinusztétellel: cos α = b² + c² − a²2 · b · c, majd ugyanígy a másik két szögre – vagy a harmadikat egyszerűen 180°-ból kivonva. A fenti kalkulátor pontosan ezt csinálja.

Lehet egy háromszögnek 0°-os vagy 180°-os belső szöge?

Nem. Ha bármelyik szög 0° vagy 180° lenne, a három csúcs egy egyenesre esne, és nem kapnánk háromszöget. Minden belső szög szigorúan 0° és 180° között van.