Szögszámítás
Mekkorák az egyenlő szárú derékszögű háromszög szögei?
Ez az egyetlen háromszög, amelynek a szögeit nem kell kiszámolni: mindig ugyanaz a három érték. Az oldalarányát viszont érdemes fejből tudni.
Röviden a válasz
Az egyenlő szárú derékszögű háromszög szögei mindig 90°, 45° és 45°. A derékszög a két egyenlő szár által bezárt szög, a másik kettő pedig az átfogón fekszik.
Az oldalak aránya ebből következően 1 : 1 : √2: az átfogó a befogó √2 ≈ 1,414-szerese.
Egyenlő szárú derékszögű háromszög kalkulátor
Írj be két egyenlő befogót – az átfogó, a szögek, a terület és a kerület azonnal megjelenik.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Miért pont 45°, 45° és 90°?
A levezetés két sor. A háromszög derékszögű, tehát az egyik szöge 90°. A belső szögek összege 180°, így a másik két szögre 90° marad. Mivel a háromszög egyenlő szárú, ez a két szög egyenlő, tehát fele-fele arányban osztoznak a maradékon.
A félnégyzet-modell
Vágj ketté egy négyzetet az átlója mentén. A két darab pontosan egyenlő szárú derékszögű háromszög: a négyzet két oldala lesz a két befogó, az átló pedig az átfogó. A négyzet 90°-os sarka marad meg derékszögnek, az átló pedig felezi a másik két sarkot – innen a 45°.
Ebből azonnal adódik az oldalarány is, hiszen a négyzet átlója az oldal √2-szerese. (Más derékszögű háromszögnél a szögek nem ilyen kényelmesek – ott a szögszámítás általános módszerei kellenek.)
Kidolgozott példák
Kidolgozott példa · A befogók 6 cm hosszúak
Mekkorák a szögek, az átfogó és a terület?
- A szögeket nem kell számolni, a típus adja őket:α = β = 45°, γ = 90°
- Az átfogó Pitagorasz-tétellel:c = √62 + 62 = √72 = 6 · √2
- Számszerűen:c = 8,49 cm
- A terület, mert a két befogó egyben magasság is:T = 6 · 62 = 18 cm2
EredménySzögek: 45°, 45°, 90°; átfogó 8,49 cm; terület 18 cm².
Kidolgozott példa · Az átfogó 10 cm
Mekkorák a befogók?
- A befogók egyenlők, jelöljük őket a-val:a2 + a2 = 102
- Összevonva:2a2 = 100 → a2 = 50
- Gyököt vonva:a = √50 = 7,07 cm
- Szögfüggvénnyel ugyanez:a = c · cos 45° = 10 · 0,7071 = 7,07 cm
EredményMindkét befogó 7,07 cm, a terület 10 · 52 = 25 cm².
Ne keverd össze: nem minden egyenlő szárú háromszög ilyen
Az „egyenlő szárú” önmagában csak annyit jelent, hogy két oldal egyenlő – a szögei bármik lehetnek. A 45°–45°–90° csak akkor jön ki, ha a háromszög ráadásul derékszögű is.
| Szárszög | Alapon fekvő szögek | Milyen a háromszög |
|---|---|---|
| 90° | 45° és 45° | egyenlő szárú derékszögű |
| 60° | 60° és 60° | szabályos (egyenlő oldalú) |
| 36° | 72° és 72° | hegyesszögű |
| 120° | 30° és 30° | tompaszögű |
Gyors önellenőrzés
Egy derékszögű háromszög két befogója 9 cm és 9 cm. Mekkorák a szögei?
Igaz-e, hogy az egyenlő szárú derékszögű háromszög egyben szabályos is?
Mekkora az átfogó, ha a befogó 4 cm?
Gyakori kérdések
Mekkorák az egyenlő szárú derékszögű háromszög szögei?
90°, 45° és 45°. A derékszög a két szár közötti szög, a két 45°-os pedig az átfogón fekszik.
Miért 45° a két hegyesszög?
A derékszög után 180° − 90° = 90° marad a másik két szögre, és mivel ezek egyenlő szárak miatt egyenlők, mindkettő 45°.
Mekkora az egyenlő szárú derékszögű háromszög oldalaránya?
1 : 1 : √2. Ha a befogó a, akkor az átfogó a · √2, ami körülbelül az 1,414-szerese.
Minden egyenlő szárú háromszög szöge 45°?
Nem. Csak akkor, ha a szárszög 90°. Általánosan az alapon fekvő szögek 180° − szárszög2 nagyságúak – például 50°-os szárszögnél 65°–65°.
Hogyan számolom ki az egyenlő szárú derékszögű háromszög területét?
A két befogó merőleges egymásra, ezért T = a22. Ha csak az átfogót ismered, T = c24.