Szögszámítás
Derékszögű háromszög belső szögeinek kiszámítása
Egy szöget már ingyen megkaptál: a derékszöget. A maradék két hegyesszög összege pontosan 90°, és ha ismered az oldalakat, egyetlen szögfüggvénnyel mindkettő kijön.
Röviden a válasz
A derékszögű háromszög három belső szögének összege 180°, ebből az egyik maga a derékszög, vagyis 90°. A másik kettő ezért hegyesszög, és összegük pontosan 90°: ha az egyiket tudod, a másik 90° mínusz az első.
Ha csak az oldalakat ismered, szögfüggvénnyel dolgozz: sin α = ac, cos α = bc, tg α = ab, majd a számológép inverz gombjával (sin⁻¹, cos⁻¹, tg⁻¹) kapod meg a fokot.
Derékszögű háromszög szögkalkulátor
Adj meg két adatot – például a két befogót vagy egy befogót és az átfogót –, és megkapod mindkét hegyesszöget.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mennyi a derékszögű háromszög belső szögeinek összege?
Pontosan 180° – ugyanannyi, mint bármelyik másik háromszögben. A derékszögű háromszögnek nincs kivételes joga: attól, hogy az egyik szöge 90°, a szögösszeg nem változik. Ez a 90° viszont fixen elhasználódik, és csak 90° marad a másik két szögre.
Ha az egyik hegyesszöget ismered
Ez a legegyszerűbb eset, és a dolgozatok fele ilyen. Nem kell se szögfüggvény, se Pitagorasz-tétel – egyetlen kivonás elég.
Kidolgozott példa · γ = 90°, α = 34°
Mekkora a harmadik belső szög?
- A szögösszegből indulunk ki:α + β + γ = 180°
- A derékszög ismert, ezért:β = 180° − 90° − 34°
- Vagy rögtön a pótszöggel:β = 90° − 34° = 56°
Eredményβ = 56°, a három szög tehát 34°, 56° és 90°.
Szögek kiszámítása az oldalakból
Ha egyetlen szöget sem adtak meg, csak oldalhosszakat, akkor szögfüggvényre van szükség. A szögfüggvény két oldal arányát köti össze a szöggel, és az arányból az inverz függvény adja vissza a fokot.
A képletek az α szögre vonatkoznak, ami az A csúcsnál van. Az a oldal ezzel szemközt fekszik, a b oldal pedig mellette. A β szögre ugyanez érvényes, csak a és b szerepe felcserélődik – vagy egyszerűen kivonod α-t 90°-ból.
Kidolgozott példa · a = 3 cm, b = 4 cm befogók
Mekkorák a háromszög belső szögei?
- A két befogó ismert, tehát tangenssel dolgozunk:tg α = ab = 34 = 0,75
- Az inverz tangens gombbal:α = tg-1 0,75 = 36,87°
- A másik hegyesszög a pótszög:β = 90° − 36,87° = 53,13°
EredményA három belső szög: α = 36,87°, β = 53,13°, γ = 90°.
Az átfogót ehhez ki sem kellett számolni – bár Pitagorasz-tétellel egy pillanat lett volna: c = √32 + 42 = 5 cm. Ha az átfogót is megadják, akkor sinus vagy cosinus a rövidebb út:
Kidolgozott példa · a = 20 cm befogó, c = 29 cm átfogó
Mekkora a két hegyesszög?
- Az a befogó az α szöggel szemközt van, az átfogó ismert – sinus kell:sin α = ac = 2029 = 0,6897
- Inverz sinusszal:α = sin-1 0,6897 = 43,60°
- A pótszög:β = 90° − 43,60° = 46,40°
- Ellenőrzés a másik befogóval (b = √292 − 202 = 21 cm):cos α = 2129 = 0,7241 → α = 43,60°
Eredményα = 43,60° és β = 46,40°.
Nevezetes derékszögű háromszögek szögei
Néhány oldalhármas újra és újra visszatér a feladatokban. Ha ezeket felismered, a szögeket sem kell kiszámolni.
| Oldalak (befogó – befogó – átfogó) | α | β |
|---|---|---|
| 3 – 4 – 5 | 36,87° | 53,13° |
| 6 – 8 – 10 (a 3–4–5 kétszerese) | 36,87° | 53,13° |
| 20 – 21 – 29 | 43,60° | 46,40° |
| 1 – 1 – √2 (fél négyzet) | 45° | 45° |
| 1 – √3 – 2 (fél szabályos háromszög) | 30° | 60° |
A második sor a legtanulságosabb: a 6 – 8 – 10 háromszög minden oldala kétszer akkora, mint a 3 – 4 – 5 háromszögé, a szögei mégis ugyanazok. A szögek ugyanis csak az oldalak arányától függnek, a méretüktől nem. Ezért lehet szögfüggvénnyel dolgozni: a 34 és a 68 ugyanaz a szám.
A leggyakoribb hibák
A szögek kiszámításának lépésről lépésre menetét, a számológép-gombokkal együtt a derékszögű háromszög szögszámítás oldalon nézheted meg. Ha inkább általános háromszöggel dolgozol, ott koszinusztétel kell – lásd a háromszög belső szögeinek kiszámítása oldalt.
Belső és külső szögek
A belső szög a háromszögön belül, két oldal által bezárt szög. A hozzá tartozó külső szög ennek a kiegészítő szöge: 180° mínusz a belső szög. A derékszögű háromszögben a derékszög külső szöge szintén 90° – ez az egyetlen szög, amelyik önmagával egyenlő külső párt kap. A külső szögekről a háromszög külső szögei oldalon olvashatsz bővebben.
Gyors önellenőrzés
Egy derékszögű háromszög egyik hegyesszöge 21°. Mekkora a másik kettő?
Lehet-e egy derékszögű háromszögnek 95°-os szöge?
A befogók 12 cm és 12 cm. Mekkorák a szögek?
Miért nem kell mindkét hegyesszöget külön szögfüggvénnyel kiszámolni?
Gyakori kérdések
Mennyi a derékszögű háromszög belső szögeinek összege?
180°, mint minden háromszögé. Ebből 90° a derékszög, a másik két szög összege tehát pontosan 90°.
Hogyan számolom ki a derékszögű háromszög szögeit az oldalakból?
Válaszd ki azt a szögfüggvényt, amelyikhez ismered a két oldalt: sin α = ac, cos α = bc vagy tg α = ab. Az arányból az inverz függvény (sin⁻¹, cos⁻¹, tg⁻¹) adja a fokot, a másik hegyesszög pedig 90° mínusz az első.
Elég egyetlen szöget ismerni a derékszögű háromszögben?
A szögekhez igen: egy hegyesszögből a másik azonnal adódik pótszögként. Az oldalakhoz viszont kell még legalább egy hosszúságadat, mert egy adott szögpárhoz végtelen sok, egymáshoz hasonló háromszög tartozik.
Mekkorák a 3-4-5 háromszög szögei?
36,87°, 53,13° és 90°. Ugyanezek a szögei a 6–8–10 és a 9–12–15 háromszögnek is, mert a szögek csak az oldalak arányától függnek.
Miért ír hibát a számológép, amikor az inverz sinust számolom?
Mert 1-nél nagyobb számot kapott. A sinus és a cosinus értéke -1 és 1 közé esik, így ha sin-1 2,125-öt kérsz, az értelmezhetetlen. Általában fordítva írtad be a törtet: az átfogónak kell a nevezőbe kerülnie.
Milyen szögei lehetnek egy derékszögű háromszögnek?
Egy derékszög és két hegyesszög. A két hegyesszög bármilyen pozitív érték lehet, amíg az összegük 90° – például 1° és 89°, vagy 45° és 45°.