Tételek
Szinusztétel derékszögű háromszögben
A szinusz- és a koszinusztétel derékszögű háromszögben is érvényes – csak fölöslegesen hosszú út. Itt látod, mivé alakulnak, és mikor éri meg mégis őket használni.
Röviden a válasz
A szinusztétel derékszögű háromszögben is igaz: asin α = bsin β = csin γ. Mivel itt γ = 90° és sin 90° = 1, a harmadik tag egyszerűen c, így a tétel a a = c · sin α és b = c · sin β alakra zsugorodik – vagyis pontosan a szinusz definícióját kapod vissza.
Ugyanez történik a koszinusztétellel: cos 90° = 0 miatt a c2 = a2 + b2 − 2ab · cos γ képletből c2 = a2 + b2, a Pitagorasz-tétel lesz. Derékszögű háromszögben ezért a szögfüggvények és a Pitagorasz-tétel a gyorsabb út, a két tételre csak akkor van szükség, ha a feladat nem derékszögű részben folytatódik.
Derékszögű háromszög kalkulátor
Add meg az átfogót és egy hegyesszöget – a befogókat a $c * sin α$ összefüggéssel kapod meg, ahogy a szinusztételből következik.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mire egyszerűsödik a szinusztétel, ha van derékszög?
A jelölés a szokásos: a derékszög a C csúcsnál van, ezért c az átfogó, a és b a befogók, α és β pedig a két hegyesszög. Írjuk fel így a szinusztételt:
Ebből az egyenlőségből két hasznos alak olvasható ki. Az egyik a = c · sin α, a másik sin α = ac – ez utóbbi szó szerint a szinusz definíciója: a szöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosa. A szinusztétel tehát nem mond újat derékszögű háromszögben, csak visszaadja azt, amit már 9. osztályban is használtál.
Példa: átfogó és egy hegyesszög
Kidolgozott példa · c = 20 cm, α = 35°
Mekkora a két befogó?
- A szinusztétel szerint az a befogóra:asin 35° = csin 90° = 20
- Átrendezve és behelyettesítve:a = 20 · sin 35° = 20 · 0,5736 = 11,47 cm
- A másik hegyesszög:β = 90° − 35° = 55°
- A b befogó ugyanígy:b = 20 · sin 55° = 20 · 0,8192 = 16,38 cm
- Ellenőrzés Pitagorasz-tétellel:11,472 + 16,382 = 131,6 + 268,3 = 399,9 ~ 202
Eredménya = 11,47 cm és b = 16,38 cm.
Koszinusztétel derékszögű háromszögben
A koszinusztétel ugyanígy leegyszerűsödik. Írjuk fel az átfogóra, tehát a γ = 90°-os szöggel szemközti oldalra:
A koszinusztétel tehát a Pitagorasz-tétel általánosítása: a -2ab · cos γ tag azt méri, mennyivel tér el a háromszög a derékszögűtől. Hegyesszögű γ esetén ez a tag levon (a c oldal rövidebb lesz a Pitagorasz-értéknél), tompaszögnél hozzáad. Bővebben a Pitagorasz-tétel derékszögű háromszögben oldalon.
| Általános háromszögben | Derékszögű háromszögben | Ismerős néven |
|---|---|---|
| asin α = csin γ | a = c · sin α | A szinusz definíciója |
| c2 = a2 + b2 − 2ab · cos γ | c2 = a2 + b2 | Pitagorasz-tétel |
| T = a · b · sin γ2 | T = a · b2 | A befogók szorzatának fele |
| asin α = 2R | c = 2R | Thalész-tétel |
Befogótétel és magasságtétel
Ez a két tétel csak derékszögű háromszögben létezik, és az átfogóhoz tartozó magasság hozza őket. A magasság az átfogót két szeletre vágja: p az a befogó melletti, q a b befogó melletti darab, és p + q = c.
Mindkettő a hasonlóságból jön: a magasság két olyan kis derékszögű háromszögre bontja az eredetit, amelyek hasonlóak hozzá, mert a szögeik páronként megegyeznek. A megfelelő oldalak arányát felírva pontosan ezt a két összefüggést kapod.
Kidolgozott példa · a = 6 cm, b = 8 cm befogók
Mekkora az átfogóhoz tartozó magasság és az átfogó két szelete?
- Az átfogó Pitagorasz-tétellel:c = √62 + 82 = √100 = 10 cm
- Befogótétellel az a melletti szelet:p = a2c = 3610 = 3,6 cm
- A másik szelet:q = c − p = 10 − 3,6 = 6,4 cm
- Magasságtétellel:m = √p · q = √3,6 · 6,4 = √23,04 = 4,8 cm
- Ellenőrzés a területből:m = a · bc = 6 · 810 = 4,8 cm
Eredménym = 4,8 cm, a szeletek 3,6 cm és 6,4 cm.
Gyors önellenőrzés
Egy derékszögű háromszög átfogója 26 cm, az egyik hegyesszöge 30°. Mekkora a vele szemközti befogó?
Miért nem ad új információt a szinusztétel derékszögű háromszögben?
Az átfogó 20 cm, a hozzá tartozó magasság az egyik oldalon 12,8 cm-es szeletet vág le. Mekkora az ehhez a szelethez tartozó befogó?
Gyakori kérdések
Igaz-e a szinusztétel derékszögű háromszögben?
Igen, minden háromszögben igaz, a derékszögűben is. Csak itt elveszíti az újdonságát: sin 90° = 1 miatt a tétel az a = c · sin α alakra egyszerűsödik, ami a szinusz definíciója.
Mi a befogótétel?
Derékszögű háromszögben minden befogó négyzete egyenlő az átfogó és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének szorzatával: a2 = c · p, illetve b2 = c · q. A p és q az átfogónak a magasság által létrehozott két szelete.
Mi a magasságtétel derékszögű háromszögben?
Az átfogóhoz tartozó magasság négyzete egyenlő az átfogó két szeletének szorzatával: m2 = p · q. Például p = 3,6 cm és q = 6,4 cm esetén m = √23,04 = 4,8 cm.
Használható a koszinusztétel derékszögű háromszögben?
Használható, de fölösleges. A derékszöggel szemközti oldalra felírva cos 90° = 0 miatt azonnal a Pitagorasz-tételt kapod. Hegyesszögre felírva viszont működik, csak lassabb, mint a szögfüggvények.
Hogyan számolok befogót az átfogóból és egy szögből?
A szöggel szemközti befogó a = c · sin α, a szög melletti befogó b = c · cos α. Például 20 cm átfogónál és 35°-nál a befogók 11,47 cm és 16,38 cm.