Háromszögfajták
A derékszögű háromszög tulajdonságai
Nyolc tulajdonság, és mindegyik egy-egy kész számolási fogás. Végigvezetjük őket ugyanazon a háromszögön, hogy lásd, melyikből mi következik.
Röviden a válasz
A derékszögű háromszög egyik szöge 90°, a másik kettő összege szintén 90°. A derékszöggel szemközti oldal az átfogó, ez a leghosszabb oldal; a másik kettő a befogó.
Igaz rá a Pitagorasz-tétel (a2 + b2 = c2), a területe a befogók szorzatának fele, a köré írt körének középpontja az átfogó felezőpontja, a magasságpontja pedig maga a derékszög csúcsa.
Derékszögű háromszög kalkulátor
Két adat elég: két oldal, vagy egy oldal és egy hegyesszög – a többi tulajdonság magától kijön.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Az elnevezések: befogó és átfogó
A derékszöget a C csúcsba szokás tenni, ezért a vele szemközti c oldal az átfogó. A derékszöget közrefogó két oldal (a és b) a befogó. Ez a jelölés végig érvényes az oldalunkon, és a legtöbb tankönyv is így használja.
A nyolc tulajdonság
| Tulajdonság | Képlet | A 9-12-15 háromszögben |
|---|---|---|
| A két hegyesszög összege 90° | α + β = 90° | 36,87° + 53,13° = 90° |
| Pitagorasz-tétel | a2 + b2 = c2 | 81 + 144 = 225 |
| Az átfogó a leghosszabb oldal | c > a és c > b | 15 > 12 > 9 |
| Terület | T = a · b2 | T = 54 cm² |
| Átfogóhoz tartozó magasság | mc = a · bc | mc = 7,2 cm |
| Átfogóhoz tartozó súlyvonal | sc = c2 | sc = 7,5 cm |
| Köré írt kör sugara | R = c2 | R = 7,5 cm |
| Beírt kör sugara | r = a + b − c2 | r = 3 cm |
A hegyesszögek egymás pótszögei
A belső szögek összege 180°, ebből 90°-ot elvisz a derékszög. A maradék 90°-on osztozik a két hegyesszög, ezért elég az egyiket ismerni: a másik azonnal adódik kivonással. Ha α = 36,87°, akkor β = 90° − 36,87° = 53,13°.
Pitagorasz-tétel és a terület
A két legtöbbet használt tulajdonság. A területnél az a trükk, hogy a két befogó egymás magassága: merőlegesek egymásra, tehát nem kell külön magasságot keresni.
Kidolgozott példa · a = 9 cm, b = 12 cm befogók
Számoljuk ki az átfogót, a területet, a kerületet és az átfogóhoz tartozó magasságot!
- Az átfogó a Pitagorasz-tételből:c = √92 + 122 = √81 + 144 = √225 = 15 cm
- A terület a befogók szorzatának fele:T = 9 · 122 = 54 cm2
- A kerület a három oldal összege:K = 9 + 12 + 15 = 36 cm
- A magasság a területből, most az átfogóval osztva:mc = 2 · 5415 = 9 · 1215 = 7,2 cm
Eredményc = 15 cm, T = 54 cm², K = 36 cm, mc = 7,2 cm
Thalész-kör: a köré írt kör középpontja
A köré írt kör középpontja pontosan az átfogó felezőpontja, a sugara pedig az átfogó fele. Ez Thalész tételének a megfordítása: ha egy háromszög csúcsa rajta van az átmérő fölé rajzolt körön, ott derékszög van.
Ugyanez másképp: az átfogóhoz tartozó súlyvonal is az átfogó fele, hiszen a felezőpontból mindhárom csúcs egyenlő távol van. Bővebben: derékszögű háromszög súlyvonala és derékszögű háromszög beírt körének sugara.
A magasságpont és a magasságtétel
Két magasság maga a két befogó, hiszen merőlegesek egymásra. Ezért a három magasság a derékszög csúcsában találkozik – itt van a magasságpont. A harmadik magasság az átfogóra állított merőleges, ez kettévágja a háromszöget két, az eredetihez hasonló darabra.
Speciális eset: az egyenlő szárú derékszögű háromszög
Ha a két befogó egyenlő, minden fenti tulajdonság megmarad, de a szögek rögzülnek: 45°, 45° és 90°, az oldalak aránya pedig 1 : 1 : √2. Erről külön oldalunk van: egyenlő szárú derékszögű háromszög. A másik nevezetes eset a 30–60–90-es, vagyis a félszabályos háromszög.
Gyors önellenőrzés
Egy derékszögű háromszög egyik hegyesszöge 28°. Mekkora a másik?
Lehet-e a derékszögű háromszög egyik befogója hosszabb az átfogónál?
Az átfogó 15 cm. Mekkora az átfogóhoz tartozó súlyvonal?
Gyakori kérdések
Mik a derékszögű háromszög tulajdonságai?
Egy szöge 90°, a két hegyesszög összege 90°, az átfogó a leghosszabb oldal, igaz rá a Pitagorasz-tétel, a területe a befogók szorzatának fele, a köré írt kör középpontja pedig az átfogó felezőpontja.
Melyik a derékszögű háromszög leghosszabb oldala?
Az átfogó, vagyis a derékszöggel szemközti oldal. A nagyobb szöggel szemben mindig hosszabb oldal áll, és a derékszög a háromszög legnagyobb szöge.
Mennyi a derékszögű háromszög hegyesszögeinek összege?
Pontosan 90°, mert a belső szögek összege 180°, és ebből 90°-ot elvisz a derékszög. Ezért egyetlen hegyesszögből a másik kivonással megkapható.
Hogyan számolom ki a derékszögű háromszög területét?
A két befogó szorzatának a fele: T = a · b2. Nem kell külön magasságot keresni, mert a befogók merőlegesek egymásra, tehát egymás magasságai.
Hol van a derékszögű háromszög magasságpontja és súlypontja?
A magasságpont a derékszög csúcsában van, mert két magasság maga a két befogó. A súlypont ugyanúgy a súlyvonalak metszéspontja, mint bármely háromszögben, és a háromszög belsejében található.
Mekkora a beírt kör sugara?
Derékszögű háromszögben r = a + b − c2, ahol a és b a befogók, c az átfogó. Például a 9-12-15 cm-es háromszögben r = 3 cm.