Magasság
Egyenlő szárú háromszög szárhoz tartozó magassága
Az alaphoz tartozó magassággal minden könnyű. A szárhoz tartozóval viszont sokan elakadnak, mert az nem felez semmit – itt a helyes út.
Röviden a válasz
A szárhoz tartozó magasság a területből jön: mb = 2 · Tb, ahol b a szár. Ha az alaphoz tartozó magasságot már kiszámoltad, még rövidebb az út: mb = a · mab, hiszen a terület mindkét oldalpárral ugyanannyi.
Szögből: mb = a · sin β (alap és alapon fekvő szög), illetve mb = b · sin α (szár és szárszög).
Szárhoz tartozó magasság kalkulátor
Írd be az alapot az a mezőbe, a két szárat a b és c mezőbe – az m_b sor a szárhoz tartozó magasság.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Miért nem működik itt a megszokott képlet?
Az alaphoz tartozó magasság egyben szimmetriatengely: felezi az alapot, felezi a szárszöget, és két egybevágó derékszögű háromszöget hoz létre. A szárhoz tartozó magasság semmi ilyet nem csinál. A talppontja nem a szár felezőpontja, ezért a √b2 − (a2)2 képlet itt egyszerűen érvénytelen.
A képletek
A második sor a legpraktikusabb: az a · ma = b · mb egyenlőség abból jön, hogy a terület kétszerese mindkét oldalpárral ugyanaz. Ebből az is látszik, hogy ha az alap hosszabb a szárnál, akkor a szárhoz tartozó magasság a nagyobb.
Kidolgozott példa · Alap 18 cm, szárak 15 cm
Mekkora a szárhoz tartozó magasság?
- Előbb az alaphoz tartozó magasság, Pitagorasz-tétellel (a fél alap 9 cm):ma = √152 − 92 = √225 − 81 = √144 = 12 cm
- Ebből a terület:T = 18 · 122 = 108 cm2
- A szárhoz tartozó magasság ugyanennek a területnek a másik felírásából:mb = 2 · 10815 = 21615
- Az osztást elvégezve:mb = 14,4 cm
Eredménymb = 14,4 cm (miközben ma = 12 cm)
Ha szöget adnak meg oldal helyett
Érettségi feladatokban gyakori, hogy a szárat és a szárszöget ismered. Ilyenkor nem kell az alapot kiszámolni: a szárhoz tartozó magasság közvetlenül adódik, mert a másik szár és a szárszög derékszögű háromszöget zár be a magassággal.
Kidolgozott példa · Szár 20 cm, szárszög 30°
Mekkora a szárhoz tartozó magasság?
- A magasság a másik szárnak a szárszöghöz tartozó merőleges vetületéből jön:mb = b · sin α = 20 · sin 30°
- Behelyettesítve:mb = 20 · 0,5 = 10 cm
- Ellenőrzés a területtel:T = 20 · 20 · sin 30°2 = 100 cm2 → mb = 20020 = 10 cm
Eredménymb = 10 cm
Az alap ebben a háromszögben a = 2 · 20 · sin 15° = 10,35 cm, tehát itt az alap rövidebb a szárnál – és valóban, az alaphoz tartozó magasság (19,32 cm) nagyobb lett a szárhoz tartozónál.
Gyors önellenőrzés
Egy egyenlő szárú háromszög alapja 8 cm, szára 5 cm. Mekkora a szárhoz tartozó magasság?
Mikor nagyobb a szárhoz tartozó magasság az alaphoz tartozónál?
Hány különböző hosszúságú magassága van egy egyenlő szárú háromszögnek?
Gyakori kérdések
Hogyan számolom ki a szárhoz tartozó magasságot?
A területből: mb = 2 · Tb, ahol b a szár. A területet előbb az alaphoz tartozó magassággal kapod meg, vagy a T = b2 · sin α2 képlettel, ha a szárszöget ismered.
Miért nem használhatom itt is a Pitagorasz-tételt a fél oldallal?
Mert a szárhoz tartozó magasság nem felezi a szárat. Csak az alaphoz tartozó magasság szimmetriatengely, csak ott felezi a magasság talppontja az oldalt.
Egyenlő-e a két szárhoz tartozó magasság?
Igen, egymással pontosan egyenlők, hiszen a háromszög tengelyesen szimmetrikus. Az alaphoz tartozó magasság viszont ezektől eltér.
Mi történik, ha a szárszög tompaszög?
A magasság talppontja a szár meghosszabbítására esik, tehát az ábrán a háromszögön kívülre kerül. A magasság hossza és a mb = 2 · Tb képlet érvényes marad.
Hol találok képletet az alaphoz tartozó magasságra?
Az egyenlő szárú háromszög magassága oldalon, ahol a m = √b2 − (a2)2 képlet levezetése és több példa is szerepel.