Területszámítás
Egyenlő szárú háromszög területe
Az alaphoz tartozó magasság kettévágja a háromszöget, ezért itt szinte mindig elég a Pitagorasz-tétel. Ha szöget kaptál adatnak, arra is van egyetlen soros képlet.
Röviden a válasz
Az egyenlő szárú háromszög területe T = a · m2, ahol a az alap, m pedig az alaphoz tartozó magasság. Ha a magasságot nem adták meg, a szárból és a fél alapból számold ki: m = √b2 − (a2)2.
Egy lépésben: T = a2 · √b2 − (a2)2. Ha viszont a szárszöget ismered, még rövidebb az út: T = b2 · sin α2, ahol b a szár, α a két szár által bezárt szárszög.
Egyenlő szárú háromszög terület kalkulátor
Elég két adat: alap és szár, alap és magasság, szár és szárszög – a terület azonnal megjelenik.
Két adat elég. Az alap az a oldal, a két egyenlő szár a b és c.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- ma magasság
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Miért ugyanaz a képlet, mint bármelyik háromszögnél?
Az egyenlő szárú háromszögre nincs külön területképlet. Ugyanaz érvényes rá, mint az összes többire: oldal szorozva a hozzá tartozó magassággal, osztva kettővel. A különbség csak annyi, hogy itt a magasságot mindig könnyű megkapni, mert a háromszög tengelyesen szimmetrikus.
Az alaphoz tartozó magasság ugyanis nemcsak merőleges az alapra, hanem félbe is vágja azt. Ezért a magasság, a fél alap és a szár egy derékszögű háromszöget alkot – és ebben a Pitagorasz-tétel egy sorban megadja a magasságot.
A terület kiszámítása alapból és szárból
Ez a leggyakoribb feladat: adott az alap és a szár, kell a terület. Két lépés az egész.
Kidolgozott példa · Alap 18 cm, szár 15 cm
Mekkora a háromszög területe?
- A magasság felezi az alapot, tehát a fél alap:a2 = 182 = 9 cm
- A szár, a fél alap és a magasság derékszögű háromszöget alkot:m = √152 − 92 = √225 − 81 = √144
- Vagyis a magasság:m = 12 cm
- Ebből a terület:T = 18 · 122 = 108 cm2
EredményT = 108 cm²
Ha szöget kaptál adatnak
Ha a két szár és a köztük lévő szárszög ismert, semmi szükség a magasságra. A két oldal és a közbezárt szög területképlete azonnal célba ér, és mivel a két szár egyenlő, b · b = b2 marad benne.
Kidolgozott példa · Szár 9 cm, szárszög 50°
Mekkora a terület, ha csak a szárat és a szárszöget ismerjük?
- A két szár és a közbezárt szög képletébe helyettesítünk:T = 92 · sin 50°2
- A szinusz értéke:sin 50° = 0,766
- Behelyettesítve:T = 81 · 0,7662 = 31,02 cm2
EredményT = 31,02 cm²
Ha viszont az alapon fekvő szög ismert (nem a szárszög), előbb ebből számolj magasságot: m = a2 · tg β, ahol β az alapon fekvő szög. A két alapon fekvő szög mindig egyenlő – erről bővebben az egyenlő szárú háromszög szögei oldalon írunk.
Visszafelé: területből a hiányzó adat
A feladatok másik fele fordítva kérdez: adott a terület, és valamelyik oldalra vagy a magasságra kíváncsi. Ilyenkor egyszerűen rendezd át a képletet.
Kidolgozott példa · Terület 120 cm², alap 16 cm
Mekkora a szár hossza?
- Először a magasság a területképlet átrendezéséből:m = 2 · 12016 = 15 cm
- A fél alap 8 cm, így a szár a Pitagorasz-tételből:b = √152 + 82 = √225 + 64 = √289
- Vagyis:b = 17 cm
Eredményb = 17 cm (a háromszög oldalai: 16, 17, 17 cm)
Melyik képletet mikor használd?
| Amit ismersz | Képlet | Megjegyzés |
|---|---|---|
| Alap és a hozzá tartozó magasság | T = a · m2 | A legrövidebb út, nincs benne gyök. |
| Alap és szár | T = a2 · √b2 − (a2)2 | Előbb magasság Pitagorasz-tétellel. |
| Két szár és a szárszög | T = b2 · sin α2 | Nem kell magasság, egy lépés. |
| Alap és az alapon fekvő szög | T = a24 · tg β | A magasság a2 · tg β. |
| Mindhárom oldal | T = √s(s-a)(s-b)(s-c) | Héron-képlet, itt is működik, de hosszabb. |
Mikor nem létezik a háromszög?
A szárnak hosszabbnak kell lennie a fél alapnál, különben a két szár nem ér össze. Ha például az alap 20 cm és a szár 8 cm, akkor 82 − 102 negatív szám, a gyök alatt mínusz van – ilyen háromszög nincs. Ez jó gyors ellenőrzés dolgozat közben.
Gyors önellenőrzés
Egy egyenlő szárú háromszög alapja 12 cm, magassága 7 cm. Mekkora a területe?
Az alap 14 cm, a szár 25 cm. Mekkora a terület?
Miért nem használhatod a szárat magasságként?
Lehet-e egy egyenlő szárú háromszögnek 20 cm alapja és 8 cm szára?
Gyakori kérdések
Mi az egyenlő szárú háromszög területének képlete?
T = a · m2, ahol a az alap és m az alaphoz tartozó magasság. Ha a magasság nem ismert, a szárból és a fél alapból számold: m = √b2 − (a2)2.
Hogyan számolom ki a területet, ha csak az alapot és a szárat tudom?
Vedd a fél alapot, emeld négyzetre, vond ki a szár négyzetéből, és vonj gyököt – ez a magasság. Ezután szorozd az alappal és oszd kettővel. Például 18 cm alap és 15 cm szár esetén a magasság 12 cm, a terület 108 cm².
Van olyan képlet, amiben nem szerepel a magasság?
Igen. Ha a szárszöget ismered, T = b2 · sin α2. Ha az alapon fekvő szöget, akkor T = a24 · tg β. Mindkettő egy lépésben ad területet.
Mekkora a terület, ha a háromszög egyenlő szárú és derékszögű is?
Ilyenkor a két befogó egyenlő, tehát T = b22, ahol b a befogó (vagyis a szár). Ha az átfogó ismert, T = c24.
A terület kiszámításához kell a szár, vagy elég az alap és a magasság?
Elég az alap és a magasság – a szárra semmi szükség. A szárra csak akkor van szükséged, ha a magasságot magadnak kell kiszámolnod.
Milyen mértékegységben kell megadni a területet?
Mindig négyzetes egységben: ha az oldalak centiméterben vannak, az eredmény cm², ha méterben, akkor m². A mértékegységet a végeredmény mellé mindig írd ki.