Magasság
A háromszög magasságvonala
A magasságvonal ott is létezik, ahol a háromszög már nincs: tompaszögűben az oldal meghosszabbítását metszi. Ez az oldal a vonalak elhelyezkedéséről szól, nem a számolásról.
Röviden a válasz
A háromszög magasságvonala az az egyenes, amely átmegy az egyik csúcson, és merőleges a szemközti oldal egyenesére. Minden háromszögnek három magasságvonala van, és ezek egyetlen pontban, a magasságpontban metszik egymást.
A magasságvonal és az oldal egyenesének metszéspontja a talppont. Hegyesszögű háromszögben mindhárom talppont az oldalra esik, tompaszögűben kettő az oldal meghosszabbítására kerül.
Magasságvonal, magasság, talppont
A három fogalom összefügg, de nem ugyanaz – dolgozatban érdemes pontosan használni őket:
- Magasságvonal: egyenes. Átmegy egy csúcson, és merőleges a szemközti oldal egyenesére. Nincs hossza, végtelen hosszú.
- Talppont: az a pont, ahol a magasságvonal metszi a szemközti oldal egyenesét.
- Magasság: a csúcstól a talppontig tartó szakasz, illetve annak hossza. Ezzel számolsz a területképletben.
Hol van a magasságpont?
A három magasságvonal mindig egy pontban metszi egymást – ez a magasságpont, jele általában M. Hogy hol találod, az a háromszög fajtájától függ:
| Háromszög | A magasságpont helye | A talppontok |
|---|---|---|
| Hegyesszögű | A háromszög belsejében. | Mindhárom az oldalon van. |
| Derékszögű | Pontosan a derékszög csúcsában. | Kettő egybeesik a derékszög csúcsával. |
| Tompaszögű | A háromszögön kívül. | Kettő az oldal meghosszabbítására esik. |
A derékszögű eset azért ilyen egyszerű, mert ott két magasságvonal maga a két befogó egyenese – erről a derékszögű háromszög magasságvonala oldalon van több. A magasságpont a súlyponttal és a köré írt kör középpontjával egy egyenesre esik; ezt a háromszög nevezetes vonalai oldal tárgyalja.
Tompaszögű háromszög magasságvonala
Ez okozza a legtöbb fejtörést. Ha a C csúcsnál tompaszög van, akkor a C-hez csatlakozó két oldalhoz tartozó magasságvonalak talppontja kicsúszik az oldal meghosszabbítására. A magasság hossza ettől még ugyanúgy érvényes: a területképletbe pontosan ezt kell behelyettesíteni.
Kidolgozott példa · b = 6 cm, a C csúcsnál lévő szög 120°
Milyen hosszú az a oldalhoz tartozó magasság, és hova esik a talppontja?
- A magasságvonal a BC oldal meghosszabbítását metszi. A C csúcsnál keletkező derékszögű részháromszögben a hegyesszög a tompaszög kiegészítője:180° − 120° = 60°
- A magasság ennek a szögnek a szinuszából:ma = 6 · sin 60° = 6 · 0,866
- Vagyis:ma = 5,20 cm
- A talppont távolsága a C csúcstól:6 · cos 60° = 6 · 0,5 = 3 cm
Eredményma = 5,20 cm, a talppont a C csúcson túl 3 cm-re van
A magasságvonal megszerkesztése
Három lépés körzővel és vonalzóval
- Hosszabbítsd meg az oldaltTompaszögű háromszögnél előbb húzd meg az oldal egyenesét mindkét irányban – különben nincs mit metszeni.
- Merőlegest állíts a csúcsbólA csúcs köré rajzolt körívvel jelölj ki két pontot az oldal egyenesén, majd ezek köré azonos sugarú íveket rajzolva kapod a merőleges második pontját.
- Húzd meg a vonalatKösd össze a csúcsot ezzel a ponttal. A háromszög oldalán belülre eső darab a magasság; a talppontot jelöld meg derékszögjellel.
A pontos szerkesztési lépéseket – az összes esettel – a háromszög magasságvonal szerkesztése oldal írja le. Ha a magasság hosszára van szükséged, a háromszög magasságvonal kiszámítása oldalon számolunk.
Gyors önellenőrzés
Hány magasságvonala van egy háromszögnek?
Miért kell a definícióban az oldal egyenesét mondani, nem magát az oldalt?
Egybeeshet-e a magasságvonal a háromszög egyik oldalával?
Gyakori kérdések
Mi a háromszög magasságvonala?
Az az egyenes, amely átmegy a háromszög egyik csúcsán, és merőleges a szemközti oldal egyenesére. A csúcstól a talppontig tartó szakaszát nevezzük magasságnak.
Hol van a tompaszögű háromszög magasságvonala?
Mindhárom magasságvonal létezik, de a tompaszög melletti két oldalhoz tartozó magasságvonal az oldal meghosszabbítását metszi, így a talppont a háromszögön kívülre kerül. A magasságpont is kívül van.
Hol van a derékszögű háromszög magasságvonala?
Két magasságvonal egybeesik a két befogó egyenesével, a harmadik pedig a derékszög csúcsából merőlegesen érkezik az átfogóra. A magasságpont a derékszög csúcsa.
Hogyan szerkesztem meg a magasságvonalat?
Állíts merőlegest a csúcsból a szemközti oldal egyenesére körzővel: a csúcs köré húzott körív két pontot jelöl ki az egyenesen, ezek köré azonos sugarú ívek metszéspontja adja a merőleges irányát.
Mi a különbség a magasságvonal és a súlyvonal között?
A súlyvonal a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával köti össze, a magasságvonal viszont merőlegesen áll az oldalra. A kettő csak egyenlő szárú háromszög alapjánál esik egybe.