Egyenlő szárú háromszög magassága – képlet, kalkulátor

Q: Mi az egyenlő szárú háromszög magasságának képlete?

Az alaphoz tartozó magasság m = √(b² - ((a)/(2))²), ahol a az alap és b a szár. Ha a terület ismert, akkor m = (2 · T)/(a), ha pedig szöget kaptál, m = (a)/(2) · tg β.

Q: Hogyan számolok magasságot, ha csak a szárat és a szárszöget tudom?

A magasság felezi a szárszöget, ezért m = b · cos (α)/(2). Például 10 cm-es szár és 60°-os szárszög esetén m = 10 · cos 30° = 8,66 cm.

Q: Mekkora az egyenlő szárú háromszög területe, ha ismerem a magasságot?

Az alaphoz tartozó magassággal T = (a · m)/(2). A 16 cm alapú, 6 cm magasságú háromszög területe így T = 48 cm². Több példa az egyenlő szárú háromszög területe oldalon.

Egyenlő szárú háromszög magasság kalkulátor

Elég két adat: alap és szár, alap és szög, vagy szár és szárszög – a magasságot azonnal megkapod.

azonnal számol

Két adat elég. Az alap az a oldal, a két egyenlő szár a b és c.

Példa:

a oldal: –
b oldal: –
Felszín: –
β szög: –
m_a magasság: –
Terület: –
Kerület: –
Köré írt kör sugara R: –
Beírt kör sugara r: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

Az alaphoz tartozó magasság képlete

Az egyenlő szárú háromszögnek van egy szimmetriatengelye: az a magasság, amelyik az alappal szemközti csúcsból indul. Ez a magasság nemcsak merőleges az alapra, hanem félbe is vágja azt – és a szárszöget is felezi. Emiatt egyetlen derékszögű háromszög elég a számoláshoz.

A magasság két egybevágó derékszögű háromszögre bontja az alakzatot: befogói a fél alap és a magasság, átfogója a szár.

Magasság az alaphozm = √b² − (a2)²Itt a az alap, b a szár. A képlet a Pitagorasz-tétel átrendezése: b² = (a2)² + m².

Kidolgozott példa · Alap 16 cm, szár 10 cm

Mekkora az alaphoz tartozó magasság, és mennyi a háromszög területe?

A magasság felezi az alapot, tehát a derékszögű részháromszög egyik befogója:a2 = 162 = 8 cm
A szár az átfogó, írjuk fel a Pitagorasz-tételt:10² = 8² + m²
Rendezzük át:m² = 100 − 64 = 36
Gyököt vonva:m = 6 cm
A területhez már csak be kell helyettesíteni:T = 16 · 62 = 48 cm²

Eredménym = 6 cm, a terület pedig T = 48 cm².

Magasság a területből

Ha a feladat a területet adja meg, felesleges a Pitagorasz-tétel: a magasság egy osztással kijön. Ez ugyanaz az összefüggés, mint bármelyik háromszögnél, csak itt az a az alap.

Ha ismered a területetm = 2 · Ta

Kidolgozott példa · T = 84 cm², alap 24 cm

Mekkora az alaphoz tartozó magasság?

Induljunk a területképletből:T = a · m2
Fejezzük ki a magasságot:m = 2 · Ta = 2 · 8424
Elvégezve az osztást:m = 16824 = 7 cm

Eredménym = 7 cm

Ugyanezen az úton a szár is megkapható: a fél alap 12 cm, így b = √12² + 7² = √193 ≈ 13,89 cm. Az egyenlő szárú háromszög oldalainak kiszámítása oldalon több ilyen visszafelé számolás van.

Magasság szögből – ha nincs meg minden oldal

Középiskolában gyakori, hogy oldal helyett szöget kapsz. A magasság ilyenkor is a fél alapos derékszögű háromszögből jön, csak szögfüggvénnyel:

Alap és alapon fekvő szög (β)m = a2 · tg β

Szár és alapon fekvő szögm = b · sin β

Szár és szárszög (α)m = b · cos α2

Kidolgozott példa · Alap 20 cm, alapon fekvő szög 40°

Mekkora a háromszög magassága?

A magasság felezi az alapot, így a derékszögű részháromszög fekvő befogója 10 cm. A 40°-os szöggel szemközt épp a magasság áll:tg 40° = m10
Innen kifejezve:m = 10 · tg 40° = 10 · 0,8391
Vagyis:m = 8,39 cm

Eredménym = 8,39 cm

Szép, egész eredményt adó adatpárok

A tankönyvi feladatok többnyire olyan alap–szár párokat választanak, amelyekben a fél alap, a magasság és a szár pitagoraszi számhármast alkot. Érdemes felismerni őket, mert a gyök azonnal kijön:

Egész magasságot adó alap–szár párok
Alap (a)	Szár (b)	Fél alap	Magasság (m)
6 cm	5 cm	3 cm	4 cm
12 cm	10 cm	6 cm	8 cm
16 cm	17 cm	8 cm	15 cm
40 cm	29 cm	20 cm	21 cm

A sorokban a 3–4–5, 6–8–10, 8–15–17 és 20–21–29 hármasok bújnak meg. Ha a számaid nem ilyenek, teljesen rendben van a tizedes tört is – csak a legvégén kerekíts.

Vigyázz: három magasság van, nem egy

Az egyenlő szárú háromszögnek is három magassága van. Ezek közül csak az alaphoz tartozó esik a szimmetriatengelyre – a két szárhoz tartozó magasság ferde, és egymással egyenlő. Ha a feladat „a szárhoz tartozó magasságot" kéri, a fenti Pitagorasz-képlet nem használható; erről a szárhoz tartozó magasság oldalon olvashatsz.

Gyors önellenőrzés

Egy egyenlő szárú háromszög alapja 24 cm, szára 13 cm. Mekkora az alaphoz tartozó magasság?

A fél alap 12 cm, így m = √13² − 12² = √169 − 144 = √25 = 5 cm.

Lehet-e a magasság hosszabb a szárnál?

Nem. A magasság a derékszögű részháromszög befogója, a szár pedig az átfogója, és a befogó mindig rövidebb. Egyenlő csak akkor lenne, ha az alap nulla volna – az pedig már nem háromszög.

Mekkora az alap, ha a magasság 12 cm és a szár 20 cm?

A fél alap √20² − 12² = √400 − 144 = √256 = 16 cm, tehát az alap 32 cm.

Gyakori kérdések

Mi az egyenlő szárú háromszög magasságának képlete?

Az alaphoz tartozó magasság m = √b² − (a2)², ahol a az alap és b a szár. Ha a terület ismert, akkor m = 2 · Ta, ha pedig szöget kaptál, m = a2 · tg β.

Miért kell az alapot elfelezni a számolásnál?

Mert az alaphoz tartozó magasság egyben szimmetriatengely is: a talppontja pontosan az alap felezőpontja. Így a magasság, a fél alap és a szár derékszögű háromszöget alkot, amiben a szár az átfogó.

Hogyan számolok magasságot, ha csak a szárat és a szárszöget tudom?

A magasság felezi a szárszöget, ezért m = b · cos α2. Például 10 cm-es szár és 60°-os szárszög esetén m = 10 · cos 30° = 8,66 cm.

Ugyanaz a szár és a magasság?

Nem. A szár a háromszög oldala, a magasság pedig egy csúcsból a szemközti oldalra állított merőleges szakasz. A magasság mindig rövidebb a szárnál, és általában nem is esik egybe vele.

Mekkora az egyenlő szárú háromszög területe, ha ismerem a magasságot?

Az alaphoz tartozó magassággal T = a · m2. A 16 cm alapú, 6 cm magasságú háromszög területe így T = 48 cm². Több példa az egyenlő szárú háromszög területe oldalon.