Testek: felszín és térfogat
Felszínszámítás – képletek és módszer
A felszín nem külön varázsképlet: terítsd ki gondolatban a testet, és add össze a lapok területét. Ebből az egy ötletből minden felszínképlet megérthető.
Röviden a válasz
A felszín a test összes határoló lapjának területe összeadva, jele A, és mindig négyzetegységben (cm², dm², m²) jön ki. Hasáboknál és hengernél a recept állandó: A = 2 · Ta + P, vagyis a két alaplap plusz a palást.
A palást mindig „kiteríthető”: hasábnál egy K · m méretű téglalap (az alap kerülete szorozva a magassággal), hengernél ugyanígy 2 · r · π · m. A gömb az egyetlen, amit nem lehet kiteríteni – ott kész képlet van: A = 4 · r2 · π.
Felszínkalkulátor – téglatest
A három élből a felszín és a térfogat is kijön. A példánk egy 9 × 5 × 4 cm-es doboz; írd át a számokat a saját feladatodra.
Három él kell – vagy kettő és a térfogat.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Térfogat
- –
- Felszín
- –
- d átmérő / átló
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mit jelent a felszín?
A felszín az a papírmennyiség, amiből a testet ki tudnád vágni és össze tudnád ragasztani. Ezért a legjobb módszer, ha gondolatban kiterítesz: a kocka hat négyzetté esik szét, a téglatest három-három egyforma téglalappá, a henger két körré és egy nagy téglalappá. Ez a kiterített ábra a test hálója.
Felszínképletek táblázata
| Test | Felszín | Miből áll össze |
|---|---|---|
| Kocka | A = 6 · a2 | Hat egybevágó négyzet. Lásd: kocka felszíne. |
| Téglatest | A = 2(ab + ac + bc) | Három lappár. Lásd: téglatest felszíne. |
| Hasáb | A = 2 · Ta + K · m | Két alaplap és a kiterített palást. |
| Henger | A = 2 · r2 · π + 2 · r · π · m | Két kör és egy téglalap. Lásd: henger felszíne. |
| Gúla | A = Ta + P | Alaplap és a háromszög alakú oldallapok. |
| Kúp | A = r2 · π + r · π · s | Alapkör és a körcikk alakú palást. |
| Gömb | A = 4 · r2 · π | Pontosan négy főkör területe. Lásd: gömb felszíne. |
A π-t 3,14-gyel (középiskolában 3,1416-tal) számold, és mindig jelöld, melyikkel dolgoztál.
Kidolgozott példák
Kidolgozott példa · Téglatest: 9 cm × 5 cm × 4 cm
Mekkora a doboz felszíne?
- A három különböző lap területe:9 · 5 = 45; 9 · 4 = 36; 5 · 4 = 20 (cm2)
- Mindegyikből kettő van, ezért:A = 2 · (45 + 36 + 20) = 2 · 101
- Az eredmény:A = 202 cm2
EredményA = 202 cm²
Kidolgozott példa · Négyzet alapú gúla: alapél 10 cm, oldallap-magasság 12 cm
Mekkora a gúla felszíne? (Az oldallap-magasság a háromszög alakú oldallapok magassága.)
- Az alaplap egy négyzet:Ta = 102 = 100 cm2
- Egy oldallap háromszög, alapja 10, magassága 12:T1 = 10 · 122 = 60 cm2
- Négy ilyen oldallap van, ez a palást:P = 4 · 60 = 240 cm2
- A felszín az alaplap és a palást összege:A = 100 + 240 = 340 cm2
EredményA = 340 cm²
Felszín visszafelé és gyakorlati feladatokban
A feladatok másik fele fordítva kérdez: ismert a felszín, és egy méret a kérdés. Ilyenkor rendezd át a képletet. Kockánál például a = √A6, mert a felszín hat egyforma négyzetből áll.
A gyakorlati feladatok többsége felszínszámítás: mennyi festék kell egy falra, mekkora csomagolópapír egy dobozhoz, hány csempe egy medencébe. Ezek mind négyzetegységben válaszolnak – ha az eredményed mellé cm³ került, összekeverted a térfogatszámítással. A m²-es váltásokhoz a négyzetméter-számítás oldal ad segítséget.
Gyors önellenőrzés
Egy hasáb alapterülete 20 cm², az alap kerülete 18 cm, a magassága 7 cm. Mekkora a felszíne?
Egy kocka felszíne 54 cm². Mekkora az éle?
Milyen mértékegységben adod meg a felszínt?
Egy felül nyitott téglatest alakú terrárium alja 50 cm × 25 cm, magassága 30 cm. Hány üveglapból áll, és mennyi az üvegfelület?
Gyakori kérdések
Hogyan kell felszínt számolni?
Add össze a test összes határoló lapjának területét. Hasáboknál és hengernél ez a A = 2 · Ta + P alakot ölti, ahol Ta az alaplap területe, P pedig a palást, vagyis K · m.
Mi a felszín és a térfogat közötti különbség?
A felszín a test burkolata, négyzetegységben (cm², m²); a térfogat azt mondja meg, mennyi fér bele, köbegységben (cm³, m³). Ugyanabból az adatból mindkettő kiszámolható, de más képlettel.
Mi az a palást?
A test oldalfelülete az alap- és fedőlap nélkül. Hasábnál kiterítve egy téglalap: P = K · m. Hengernél ugyanez 2 · r · π · m, kúpnál egy körcikk: P = r · π · s.
Hogyan számolom ki a felszínt, ha a test nyitott?
Hagyd ki a hiányzó lapot. Felül nyitott doboznál egy alaplap és négy oldallap van, felül nyitott hengernél egy körlap és a palást – a képletből egyszerűen elhagyod a fedőlap tagját.
Melyik testnek nincs kiteríthető palástja?
A gömbnek: a gömbfelület nem teríthető ki síkba torzítás nélkül. Ezért van rá kész képlet, A = 4 · r2 · π, ami pontosan a főkör területének a négyszerese.