Testek: felszín és térfogat
A henger felszíne és palástja
A henger palástja kiterítve egy téglalap – ha ezt egyszer megérted, a felszínképletet soha többé nem kell magolnod.
Röviden a válasz
A henger felszíne a két alapkör és a palást területének összege: A = 2 · r2 · π + 2 · r · π · m. Ha r = 4 cm és m = 9 cm, akkor a két kör 2 · 50,24 = 100,48 cm², a palást 226,08 cm², tehát A = 326,56 cm² (π ≈ 3,14).
A palást önmagában P = 2 · r · π · m: ez a henger oldalfala, amit kiterítve egy téglalapot kapsz. A téglalap egyik oldala az alapkör kerülete, a másik a henger magassága.
Hengerfelszín-kalkulátor
Add meg az alapkör sugarát (vagy átmérőjét) és a magasságot – a palást, a felszín és a térfogat is megjelenik.
Az alapkör sugara (vagy átmérője) és a magasság kell.
- Beírt kör sugara r
- –
- d átmérő / átló
- –
- m magasság
- –
- Alapterület
- –
- Palást
- –
- Felszín
- –
- Térfogat
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Miért éppen ez a képlet?
Vágd fel egy konzervdoboz papírcímkéjét egy függőleges vonal mentén, és terítsd ki: téglalapot kapsz. A téglalap magassága a henger magassága, a szélessége pedig annyi, amennyi a doboz körül elfér – vagyis az alapkör kerülete, 2 · r · π. A palást ezért P = 2 · r · π · m.
A negyedik sor ugyanaz a képlet, csak kiemeltük a közös 2 · r · π tényezőt. Számológéppel ez a gyorsabb: egyetlen zárójeles szorzás, és kész. Az alapkör területéről a kör területe, a kerületről a kör kerülete oldalon olvashatsz.
Kidolgozott példák
Kidolgozott példa · Sugárból: r = 4 cm, m = 9 cm
Mekkora a henger palástja és felszíne? Számolj π ≈ 3,14 értékkel.
- Egy alapkör területe:Ta = 42 · 3,14 = 50,24 cm2
- Az alapkör kerülete – ez lesz a palásttéglalap szélessége:K = 2 · 4 · 3,14 = 25,12 cm
- A palást a téglalap területe:P = 25,12 · 9 = 226,08 cm2
- A felszín: két alapkör plusz a palást:A = 2 · 50,24 + 226,08 = 326,56 cm2
EredményP = 226,08 cm², A = 326,56 cm²
Kidolgozott példa · Átmérőből: d = 10 cm, m = 15 cm
Egy konzervdoboz átmérője 10 cm, magassága 15 cm. Mekkora a felszíne?
- Először sugarat számolsz, mert a képlet azzal dolgozik:r = d2 = 5 cm
- A kiemelt alakot használjuk:A = 2 · r · π · (r + m) = 2 · 5 · 3,14 · (5 + 15)
- A zárójel és a szorzó:A = 31,4 · 20
- Az eredmény:A = 628 cm2
EredményA = 628 cm²
Nyitott henger: csak a palást vagy egy fedőlap
A gyakorlati feladatok fele nem teljes hengert kér. Egy cső felülete csak a palást, egy vödörnél egy alaplap és a palást van, egy címkénél pedig kizárólag a palást számít. Mindig olvasd el, mit kell befesteni, beborítani vagy kivágni.
| A feladat | Amit számolsz | Képlet |
|---|---|---|
| Zárt doboz, konzerv | két kör + palást | A = 2 · r2 · π + 2 · r · π · m |
| Felül nyitott vödör, pohár | egy kör + palást | A = r2 · π + 2 · r · π · m |
| Cső, kémény, címke | csak a palást | P = 2 · r · π · m |
| Csak a fedél | egy kör | Ta = r2 · π |
Kidolgozott példa · Vízvezetékcső: d = 20 cm, hossz 3 m
Hány négyzetméter szigetelőanyag kell a cső külső palástjára?
- Hozd közös egységre a méreteket – a hossz 3 m = 300 cm:r = 202 = 10 cm, m = 300 cm
- A palást:P = 2 · 10 · 3,14 · 300 = 18 840 cm2
- Váltsd m²-re – 1 m² = 10 000 cm²:P = 1,884 m2
EredményP ≈ 1,88 m² szigetelőanyag
Gyors önellenőrzés
Egy henger sugara 2 cm, magassága 6 cm. Mekkora a palástja (π = 3,14)?
Hányszorosára nő a palást, ha a magasságot megduplázod?
Egy henger palástja 226,08 cm², a magassága 9 cm. Mekkora a sugara?
Gyakori kérdések
Mi a henger felszínének képlete?
A = 2 · r2 · π + 2 · r · π · m, vagy tömörebben A = 2 · r · π · (r + m). Az első tag a két alapkör, a második a palást.
Hogyan számolom ki a henger palástját?
A palást kiterítve téglalap, amelynek szélessége az alapkör kerülete, magassága a henger magassága: P = 2 · r · π · m. Ha r = 4 cm és m = 9 cm, akkor P = 226,08 cm².
Hogyan számolom a felszínt átmérőből?
Feleződ az átmérőt, és a sugárral dolgozol. Egy lépésben: A = d2 · π2 + d · π · m. Egy d = 10 cm átmérőjű, 15 cm magas hengernél ez 628 cm².
Mennyi egy felül nyitott henger felszíne?
Csak egy alapkört számolsz: A = r2 · π + 2 · r · π · m. Így számolsz vödröt, poharat vagy fedő nélküli tartályt.
Mekkora a henger magassága, ha a felszínt ismerem?
Rendezd át a képletet: m = A − 2 · r2 · π2 · r · π. Vagyis a felszínből kivonod a két alapkört, és elosztod az alapkör kerületével.
Mennyivel számoljam a π-t?
Általános iskolában 3,14, középiskolában 3,1416 vagy a számológép π gombja. A megoldás mellé mindig írd oda, melyikkel dolgoztál.