Testek: felszín és térfogat
A gömb felszíne
Egyetlen adat elég hozzá: a sugár. Megmutatjuk, miért pont négyszerese a főkör területének, és hogyan számolj vissza felszínből sugarat.
Röviden a válasz
A gömb felszíne A = 4 · r2 · π, ahol r a gömb sugara. Ha r = 5 cm, akkor A = 4 · 25 · 3,14 = 314 cm² (π ≈ 3,14).
Ha átmérőt kaptál, előbb feleződ: r = d2. Egy lépésben A = d2 · π – ez az egyetlen képlet, ahol az átmérős alak egyszerűbb, mint a sugaras.
Gömbfelszín-kalkulátor
Egyetlen adat elég: sugár, átmérő, felszín vagy térfogat – a másik hármat kiszámoljuk hozzá.
Egyetlen adat elég: sugár, átmérő, térfogat vagy felszín.
- Beírt kör sugara r
- –
- d átmérő / átló
- –
- Térfogat
- –
- Felszín
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A képlet és a mögötte lévő gondolat
A képletben az a szép, hogy a r2 · π épp a főkör területe – az a kör, amit akkor kapsz, ha a gömböt a középpontján át elvágod. A gömb felszíne tehát pontosan négy ilyen körlap területe. Ezt jó tudni, mert azonnal becsülhetővé teszi az eredményt.
Kidolgozott példák
Kidolgozott példa · Sugárból: r = 5 cm
Mekkora a gömb felszíne? Számolj π ≈ 3,14 értékkel.
- Emeld négyzetre a sugarat:r2 = 52 = 25
- Helyettesíts be:A = 4 · 25 · 3,14
- Az eredmény:A = 314 cm2
EredményA = 314 cm²
Kidolgozott példa · Átmérőből: d = 14 cm
Egy labda átmérője 14 cm. Mennyi anyag kell a bevonatához?
- Az átmérős alak itt egy lépés:A = d2 · π = 142 · 3,14
- Kiszámolva:A = 196 · 3,14
- Az eredmény:A = 615,44 cm2
EredményA = 615,44 cm²
Kidolgozott példa · Visszafelé: A = 803,84 cm²
Mekkora a gömb sugara, ha a felszíne 803,84 cm²?
- Rendezd át a képletet r2-re:r2 = A4 · π = 803,844 · 3,14
- A nevező kiszámolva:r2 = 803,8412,56 = 64
- Vonj négyzetgyököt:r = √64 = 8 cm
Eredményr = 8 cm, tehát az átmérő 16 cm
Félgömb, és amikor csak a görbült rész kell
A félgömbnél két eset van, és a feladat szövege dönti el, melyik kell: ha a lapos oldala is látszik (például egy tál kívül-belül vagy egy kupola alapkörrel), akkor az alapkör területét is hozzá kell adni.
| Amit számolsz | Képlet | Példa: r = 10 cm |
|---|---|---|
| Csak a görbült rész (gömbsüveg) | A = 2 · r2 · π | 628 cm² |
| Görbült rész + alapkör (zárt félgömb) | A = 3 · r2 · π | 942 cm² |
A táblázat 10 cm sugarú félgömbjénél a görbült rész 2 · 100 · 3,14 = 628 cm², az alapkör pedig 100 · 3,14 = 314 cm² – együtt 942 cm². A gömb térfogatával kapcsolatos képleteket a gömb térfogata oldalon találod.
Gyors önellenőrzés
Egy gömb sugara 2 cm. Mekkora a felszíne (π = 3,14)?
Hányszorosára nő a felszín, ha a sugarat megduplázod?
Hányszorosa a gömb felszíne a főkör területének?
Egy gömb alakú léggömb felszíne 200,96 cm². Mekkora az átmérője?
Gyakori kérdések
Mi a gömb felszínének képlete?
A = 4 · r2 · π, ahol r a gömb sugara. Átmérővel ugyanez rövidebb: A = d2 · π. Az eredmény négyzetegységben (cm², m²) jön ki.
Hogyan számolom ki a gömb felszínét átmérőből?
Vagy feleződ az átmérőt és a sugárral számolsz, vagy közvetlenül az A = d2 · π alakot használod. Egy 14 cm átmérőjű labdánál A = 196 · 3,14 = 615,44 cm².
Hogyan kapom meg a sugarat a felszínből?
Rendezd át: r = √A4 · π. Ha A = 803,84 cm², akkor r2 = 803,8412,56 = 64, tehát r = 8 cm.
Mekkora a félgömb felszíne?
Ha csak a görbült felület kell, A = 2 · r2 · π; ha az alapkör is hozzátartozik, A = 3 · r2 · π. Egy 10 cm sugarú zárt félgömbnél ez 942 cm².
Mi a különbség a gömb felszíne és térfogata között?
A felszín a burkolat nagysága, A = 4 · r2 · π, négyzetegységben; a térfogat az, amennyi belefér, V = 43 · r3 · π, köbegységben. A felszínben nincs hármas osztó, és a sugár csak négyzeten szerepel.