Testek: felszín és térfogat
A téglatest felszíne
A téglatestnek nem hat különböző lapja van, hanem három lappárja. Ha így nézed, a képlet magától adódik – és a festős, csomagolós feladatok is egyszerűvé válnak.
Röviden a válasz
A téglatest felszíne A = 2 · (a · b + a · c + b · c), ahol a, b és c a három él hossza. A testet hat téglalap határolja, de ezek párosával egyformák: ezért elég három szorzatot összeadni, és az összeget megkétszerezni.
Például a = 6 cm, b = 4 cm, c = 3 cm esetén A = 2 · (24 + 18 + 12) = 108 cm². Az eredmény mindig négyzetegységben van.
Téglatestfelszín-kalkulátor
Írd be a három élt – a felszín, a térfogat és a testátló is megjelenik. Két él és a térfogat is elég.
Három él kell – vagy kettő és a térfogat.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Térfogat
- –
- Felszín
- –
- d átmérő / átló
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Három lappár, nem hat lap
A téglatest hat lapja három párra esik szét, és minden párban a két lap egybevágó. A szemközti lapok ugyanis mindig ugyanazzal a két éllel készülnek: a padló és a tető is a · b, az elülső és a hátsó lap is a · c, a két oldallap is b · c. Ez a megfigyelés a képlet lelke – innentől nem hat, hanem három szorzatot kell kiszámolnod.
| Lappár | Egy lap területe | Két lap együtt |
|---|---|---|
| Alsó és felső lap (a · b) | 6 · 4 = 24 cm² | 48 cm² |
| Elülső és hátsó lap (a · c) | 6 · 3 = 18 cm² | 36 cm² |
| Bal és jobb oldallap (b · c) | 4 · 3 = 12 cm² | 24 cm² |
| Felszín összesen | – | 108 cm² |
Kidolgozott példák
Kidolgozott példa · Három élből: 6 cm, 4 cm, 3 cm
Mekkora a téglatest felszíne?
- A három különböző lap területe:a · b = 6 · 4 = 24; a · c = 6 · 3 = 18; b · c = 4 · 3 = 12 (cm2)
- Add össze a hármat:24 + 18 + 12 = 54 cm2
- Mindegyikből kettő van:A = 2 · 54 = 108 cm2
EredményA = 108 cm²
Kidolgozott példa · Szobafestés: 5 m × 4 m alapterület, 2,7 m belmagasság
Mekkora felületet kell lefesteni, ha a négy falat és a mennyezetet fested, a padlót nem?
- A négy fal együtt az alap kerülete szorozva a belmagassággal:K = 2 · (5 + 4) = 18 m
- A falak területe:T_(fal) = 18 · 2,7 = 48,6 m2
- A mennyezet:T_(menny) = 5 · 4 = 20 m2
- Öt lap kell, nem hat:A = 48,6 + 20 = 68,6 m2
EredményA = 68,6 m² festendő felület
Kidolgozott példa · Visszafelé: A = 148 cm², a = 6 cm, b = 4 cm
Mekkora a harmadik él?
- Írd fel a képletet a keresett c-vel:2 · (6 · 4 + 6 · c + 4 · c) = 148
- Oszd el kettővel, és vond össze a c-s tagokat:24 + 10 · c = 74
- Rendezd:10 · c = 50 → c = 5 cm
- Ellenőrzés:2 · (24 + 30 + 20) = 2 · 74 = 148 cm2
Eredményc = 5 cm
Ez a feladattípus azért kedvelt, mert elsőfokú egyenletre vezet: a két ismert él szorzata állandó, a hiányzó él pedig lineárisan szerepel. Térfogatból ugyanez még egyszerűbb lenne – arról a téglatest térfogata oldal szól.
Részleges felszín: mit kell tényleg összeadni?
A gyakorlati feladatok ritkán kérik mind a hat lapot. Olvasd el figyelmesen, mi a burkolandó felület, és csak azokat a lapokat add össze.
- Becsomagolás, bevonás: mind a hat lap, tehát a teljes A = 2(ab + ac + bc).
- Felül nyitott doboz, akvárium, medence: öt lap – a felső a · b lapot hagyd ki.
- Szoba festése: a négy fal (K · m) plusz a mennyezet, a padló nélkül.
- Csak a palást (oldalfalak): P = K · m = 2 · (a + b) · c, alaplap és fedőlap nélkül.
Mértékegységek és a testátló
A felszín mindig négyzetegység. Váltásnál ne a hosszváltó számot használd: 1 dm² = 100 cm², 1 m² = 10 000 cm². A 108 cm² tehát 1,08 dm². Ha az élek különböző egységben vannak megadva (pl. 80 cm és 1,2 m), a behelyettesítés előtt válts közös egységre – utólag már nem javítható fejben.
A téglatest testátlója Pitagorasz-tétellel jön ki: d = √a2 + b2 + c2. A 6-4-3-as téglatestnél d = √36 + 16 + 9 = √61 = 7,81 cm. Ez a leghosszabb szakasz, ami a testben elfér – hasznos, ha egy rúd befér-e a dobozba típusú feladatot kapsz. A levezetés a Pitagorasz-tétel alkalmazása oldalon van.
Gyors önellenőrzés
Egy téglatest élei 10 cm, 5 cm és 2 cm. Mekkora a felszíne?
Egy felül nyitott, 6 cm × 4 cm alapú, 3 cm magas tálca belső felülete mekkora?
Hányszorosára nő a felszín, ha minden élt megkétszerezel?
Miért nem elég a felszínből egyetlen osztás a harmadik élhez?
Gyakori kérdések
Mi a téglatest felszínének képlete?
A = 2 · (a · b + a · c + b · c), ahol a, b, c a három él. A hat határoló téglalap párosával egybevágó, ezért elég három szorzatot összeadni és kettővel szorozni.
Hogyan számolom ki a téglatest felszínét, ha az élek különböző egységben vannak?
Előbb válts közös egységre, csak utána helyettesíts be. Ha az egyik él 1,2 m, a másik 80 cm, akkor vagy mindkettőt cm-ben (120 és 80), vagy mindkettőt m-ben (1,2 és 0,8) írd fel.
Mennyi egy felül nyitott téglatest alakú doboz felszíne?
Öt lapot adsz össze: a fenék a · b és a négy oldalfal 2 · (a + b) · c. Egy 6 × 4 × 3 cm-es tálcánál ez 24 + 60 = 84 cm².
Mi a különbség a téglatest felszíne és térfogata között?
A felszín a hat lap összterülete, A = 2(ab + ac + bc), négyzetegységben; a térfogat az, amennyi belefér, V = a · b · c, köbegységben. A 6 × 4 × 3 cm-es téglatestnél A = 108 cm², V = 72 cm³.
Hogyan kapom meg a hiányzó élt a felszínből?
Helyettesítsd be a két ismert élt, és rendezd az egyenletet. Ha A = 148 cm², a = 6 cm, b = 4 cm, akkor 24 + 10c = 74, tehát c = 5 cm.
Mekkora a téglatest testátlója?
d = √a2 + b2 + c2. A 6-4-3-as téglatestnél d = √61 = 7,81 cm. Ez a testben elférő leghosszabb egyenes szakasz.